\(11.5^{2n}+3^{3n+2}+2^{3n+1}\)\(=11.25^n+8^n.4+8^n.2\)\(=11.25^n+6.8^n\)

Vì 25 = 8 (dư 17)

➩ \(11.5^{2n}+3^{3n+2}+2^{3n+1}\)\(=11.25^n+6.8^n\)\(=11.8^n+6.8^n=17.8^n=0\) (dư 17)

Hay \(11.5^{2n}+3^{3n+2}+2^{3n+1}\) ⋮ 17

\(=n^4+2n^3+4n^3+8n^2+15n^2+30n-12n-24+24=\left(n+2\right)\left(n^3+4n^2+15n-12\right)+24\)

\(=\left(n+2\right)\left(n^3-3n^2+7n^2-21n+36n-12\right)+24=\left(n+2\right)\left(n-3\right)\left(n^2+7n+12\right)+24\)

\(=\left(n+2\right)\left(n-3\right)\left(n^2+3n+4n+12\right)+24=\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\left(n+1-4\right)+24\)

\(=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)-4\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+24\)

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 1.2.3.4=24

(n+2)(n+3)(n+4) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 1.2.3=6 => 4(n+2)(n+3)(n+4) chia hết cho 4.6=24

biểu thức vừa thu gọn là tổng hiệu của các số chia hết cho 24 => chia hết cho 24

Giúp mình nhé mình sẽ tích ngay cho các bạn bây giờ mình đang rất cần

a/ \(x^4+2x^3+x^2+x^2+2xy+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)^2+\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

b/ 72 chia hết 24 nên ta chỉ cần chứng minh \(A=n^3+23n⋮24\)

\(A=n^3+23n=n\left(n^2+23\right)=n\left[n^2-1+24\right]\)

\(=n\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)+24\right]=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+24n\)

\(24n\) hiển nhiên chia hết 24. Xét \(B=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

B là tích 3 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow B⋮3\)

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\Rightarrow B=\left(2k+1\right)2k.\left(2k+2\right)\)

\(B=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\)

\(k\left(k+1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow B⋮8\)

Mà 3;8 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow B⋮24\Rightarrow A⋮24\)

Lời giải:

Đặt $a^2+a+1=k$ thì:

$A=k(k+1)-12=k^2+k-12=(k-3)(k+4)=(a^2+a-2)(a^2+a+5)$

Với $a>1$, tức là $a\geq 2$ thì $a^2+a-2>2, a^2+a+5>2$ nên $A$ là hợp số (đpcm)

Đề bài cm: A = (a² +a +1)(a² + a + 2) -12 là hợp số với (a \(\in\) N; a > 1)

                                    Giải: 

Vì a > 1; a \(\in\) N ⇒ a ≥ 2;  ⇒ A ≥ (2² + 2 + 1)( 2² + 2 + 2) - 12 = 44

Ta có: a² + a + 2 - (a² + a + 1) = 1 vậy

B = (a²+a 1)(a² + a + 2) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên B ⋮ 2

A = B - 12 ⋮ 2 ⇒ A ⋮ 1; 2; A ( A >2)  ⇒ A là hợp số Đpcm 

n\(^3\)+ 23n

= n (n\(^2\)+23)

= n [(n\(^2\)-1) + 24]

= n(n-1)(n+1) + 24n

Vì n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3. Mà 2,3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 6.

24n cũng chia hết cho 6.

Vậy n^3 + 23n chia hết cho 6 (n thuộc Z).