Cho đa thức \(P\left(x\right)\)có bậc \(n\)với hệ số nguyên, \(n\ge2\). Biết \(P\left(1\right)\times P\left(2\right)=2019\)
C/m phương trình \(P\left(x\right)=0\)không có nghiệm nguyên.
Những câu hỏi liên quan
P(x) là đa thức bậc n với hệ số nguyên ( n 2) biết P(1) . P(2) 2019 . CMR: P(x) 0 khoogn có nghiệm nguyên Giải : Giả sử a là nghiệm nguyên của P(x) 0 thì khi đó P(x) (x-a).G(x)Khi đó Pleft(1right)left(1-aright).Gleft(1right) và Pleft(2right)left(2-aright).Gleft(2right)Ta có Pleft(1right).Pleft(2right)2019nên P(1) và P(2) cùng lẻ mà dễ thấy P(1) và P(2) khác tính chẵn lẻ Điều giả sử là sai Đpcm
Đọc tiếp
P(x) là đa thức bậc n với hệ số nguyên ( n > 2) biết P(1) . P(2) = 2019 . CMR: P(x) = 0 khoogn có nghiệm nguyên
Giải :
Giả sử a là nghiệm nguyên của P(x) = 0 thì khi đó P(x) = (x-a).G(x)
Khi đó \(P\left(1\right)=\left(1-a\right).G\left(1\right)\) và \(P\left(2\right)=\left(2-a\right).G\left(2\right)\)
Ta có \(P\left(1\right).P\left(2\right)=2019\)nên P(1) và P(2) cùng lẻ mà dễ thấy P(1) và P(2) khác tính chẵn lẻ
=> Điều giả sử là sai => Đpcm
toán lớp 1 kiểu j vậy
18 tháng 6 2023 lúc 7:45
Cho đa thức \(P\left(x\right)\inℝ\left[x\right]\) bậc \(n\) có \(n\) nghiệm thực phân biệt. Hỏi \(P\left(x\right)\) có tối đa bao nhiêu hệ số bằng 0?
Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-2020\right)-1\). Có thể phân tích P(x) thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên và hai đã thức đó có bậc lớn hơn 1 được không?
Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-2020\right)-1\).Chứng minh rằng đa thức \(P\left(x\right)\)không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
Ta đi phản chứng, giả sử P(x) có thể phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên bậc lớn hơn 1.
đặt \(P\left(x\right)=Q\left(x\right).H\left(x\right)\)với bậc của Q(x) và H(x) lớn hơn 1
Ta Thấy \(Q\left(i\right).H\left(i\right)=P\left(i\right)=-1\)với i=1,2,...2020.
suy ra \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=1\\H\left(i\right)=-1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=-1\\H\left(i\right)=1\end{cases}}\) suy ra \(Q\left(i\right)+H\left(i\right)=0\)với i=1,2,...,2020
mà bậc của Q(x) và H(x) không vượt quá 2019 suy ra \(Q\left(x\right)+H\left(x\right)=0\Rightarrow Q\left(x\right)=-H\left(x\right)\Rightarrow P\left(x\right)=-\left(Q\left(x\right)\right)^2\)
xét hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(P\left(x\right)\) bằng 1
hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(-\left(Q\left(x\right)\right)^2\) bằng -1. Suy ra vô lý.
Vậy P(x) không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
Cho P(x) là đa thức hệ số nguyên thỏa mãn \(P\left(a\right)=P\left(b\right)=P\left(c\right)=P\left(d\right)=7\)
và a, b ,c ,d là các số nguyên phân biệt . Chứng minh \(P\left(x\right)-14\)
không có nghiệm nguyên
Do \(P\left(a\right)=P\left(b\right)=P\left(c\right)=P\left(d\right)=7\) nên \(P\left(x\right)-7=0\) có 4 nghiệm nguyên phân biệt
\(\Rightarrow P\left(x\right)-7=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)\) với Q(x) là đa thức có giá trị nguyên khi x nguyên
Xét phương trình: \(P\left(x\right)-14=0\)
\(\Leftrightarrow P\left(x\right)-7=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)=7\) (1)
Do a;b;c;d phân biệt \(\Rightarrow\) vế trái là tích của ít nhất 4 số nguyên phân biệt khi x nguyên
Mà 7 là số nguyên tố nên chỉ có thể phân tích thành tích của 2 số nguyên phân biệt
\(\Rightarrow\) Không tồn tại x nguyên thỏa mãn (1) hay \(P\left(x\right)-14=0\) ko có nghiệm nguyên
Đúng 2
Bình luận (0)
4 tháng 7 2023 lúc 20:46
Cho đa thức \(P\left(x\right)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+1\) có các hệ số không âm. CMR nếu \(P\left(x\right)\) có \(n\) nghiệm thực thì \(P\left(2\right)\ge3^n\)
Cho đa thức \(f\left(x\right)\) có các hệ số nguyên. Biết rằng \(f\left(0\right),f\left(1\right)\) là các số lẻ.
Chứng minh rằng đa thức \(f\left(x\right)\) không có nghiệm nguyên.
Cho đa thức hệ số nguyên fleft(xright)thỏa mãn:fleft(m^2+n^2right)f^2left(mright)+f^2left(nright),forall m,nnguyên dương và fleft(xright)nhận giá trị dương với xne0. Biết fleft(0right)0, fleft(1right)ne0. Tính fleft(3right)
Đọc tiếp
Cho đa thức hệ số nguyên \(f\left(x\right)\)thỏa mãn:
\(f\left(m^2+n^2\right)=f^2\left(m\right)+f^2\left(n\right),\forall m,n\)nguyên dương và \(f\left(x\right)\)nhận giá trị dương với \(x\ne0\). Biết \(f\left(0\right)=0\), \(f\left(1\right)\ne0\). Tính \(f\left(3\right)\)
bài 1
a) cho B = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{2^3}+...+\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\). Chứng minh B >99
b)chứng minh \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...\left(2n\right)⋮2^n\)với n nguyên dương
c) cho đa thức f(x) = ax^3 + bx^3 + cx + d . với f(0) và f(1) là các số lẻ. CMR f(x) không có nghiệm là số nguyên.