Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=2020
chứng minh rằng:\(\frac{ab}{c+2020}=\frac{bc}{a+2020}=\frac{ac}{b+2020}\le5050\)
1.Giải phương trình sau: [x-2015] + [2x-2016]= x-2017
2. Cho ba số thực a,b,c khác nhau thỏa mãn: \(a+\frac{2020}{b}=b+\frac{2020}{c}=c+\frac{2020}{a}\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2=2020^3\)
3. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=9. Chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
4. Chứng minh bất đẳng thức sau vớ a,b,c là các số dương: \(\left(a+b+c\right)\times\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
5. Cho a >0, b >0, c >0. Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a+2020}+\frac{1}{b+2020}+\frac{1}{c+2020}\le\frac{1}{2020a+1}+\frac{1}{2020b+1}+\frac{1}{2020c+1}\)
giúp mk vs mk đang cần gấp
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=2020
tìm min của Q=\(\frac{a}{b+2020-a}+\frac{b}{c+2020-b}+\frac{c}{a+2020-c}\)
\(Q=\frac{a}{b+2020-a}+\frac{b}{c+2020-b}+\frac{c}{a+2020-c}\)
\(Q=\frac{a}{b+a+b+c-a}+\frac{b}{c+a+b+c-b}+\frac{c}{a+a+b+c-c}\)
\(Q=\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(Q=\frac{a^2}{a\cdot\left(2b+c\right)}+\frac{b^2}{b\cdot\left(2c+a\right)}+\frac{c^2}{c\cdot\left(2a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2020}{3}\)
2020a hay là 2020-a vậy???
Nếu đề như vậy thì thay 2020 vô các mẫu đc
\(\frac{a}{2b+a}=\frac{a^2}{2ab+a^2}\)
Tương tự sau đó cosi swat là ra nha
cho a,b,c là số hữu tỉ thỏa mãn ab+bc+ac=2020
c/m \(\sqrt{\frac{\left(a^2+2020\right)\cdot\left(b^2+2020\right)}{c^2+2020}}\)là số hữu tỉ
\(M=\sqrt{\frac{\left(a^2+2020\right)\left(b^2+2020\right)}{c^2+2020}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+ab+bc+ac\right)\left(b^2+ab+bc+ac\right)}{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=a+b\) là 1 số hữu tỉ
=> M là 1 số hữu tỉ (đpcm)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=2020
Cmr:\(\frac{a-b}{2020+c^2}+\frac{b-c}{2020+a^2}+\frac{c-a}{2020+b^2}\)
Ta có: \(2020+c^2=ab+bc+ca+c^2=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Tương tự => \(2020+a^2=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\)
và \(2020+b^2=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
=> PT = \(\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{b-c}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
= \(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(b-c\right)\left(b+c\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\) = \(\frac{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\) = 0
Cho abc=2020. Rút gọn A=\(\frac{2020a}{ab+2020a+2020}+\frac{b}{bc+b+2020}+\frac{c}{ac+c+1}\)
thay 2020 = abc vào biểu thức A ta được :
\(A=\frac{2020a}{ab+2020a+2020}+\frac{b}{bc+b+2020}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{abc.a}{ab+abc.a+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{abc.a}{ab\left(1+ac+c\right)}+\frac{b}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{ac+1+c}{ac+c+1}=1\)
VẬy A=1
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=6\)
Tính giá trị của bt \(B=a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\)
\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=2\\ \)(do Bđt cosi)=> \(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge6\\ \)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
=>B=3
Bất đẳng thức cosi mình chưa học
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=6\)
Tính giá trị của biểu thức \(B=a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\)
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a^2}}+2\sqrt{\frac{b^2}{b^2}}+2\sqrt{\frac{c^2}{c^2}}=6\)
Dấu = xảy ra khi a^4=b^4=c^4=1 <=> \(a=\pm1;b=\pm1;c\pm1\)
-> B = 3
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}>2\) (HSG Vĩnh Phúc 2020 - 2021)
Đặt \(\left(b+c,c+a,a+b\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)thì \(x,y,z>0\)và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{25\left(z+x-y\right)}{2y}+\frac{4\left(x+y-z\right)}{2z}>2\)
Xét \(VT=\left(\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{25x}{2y}-\frac{25}{2}\right)+\left(\frac{2x}{z}+\frac{2y}{z}-2\right)\)\(=\left(\frac{y}{2x}+\frac{25x}{2y}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{2y}{z}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{2x}{z}\right)-15\)\(\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{25x}{2y}}+2\sqrt{\frac{25z}{2y}.\frac{2y}{z}}+2\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{2x}{z}}-15=2\)(BĐT Cauchy)
Đẳng thức xảy ra khi \(10x=2y=5z\)hay \(10\left(b+c\right)=2\left(c+a\right)=5\left(a+b\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10b+8c=2a\\5b+10c=5a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a=10b+8c\\2a=2b+4c\end{cases}}\Leftrightarrow8b+4c=0\)(Vô lí vì 8b + 4c > 0 với mọi b,c dương)
Vậy dấu bằng không xảy ra
em chao chi a
sao lại chào chị