Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có độ dài cạnh bằng 3. Một mặt phẳng (α) đồng thời cắt các cạnh AA′,BB′,CC′,DD′ lần lượt tại các điểm M,N,P,Q. Diện tích tứ giác MNPQ bằng 18. Góc giữa (α) và mặt phẳng đáy bằng
A. 45 °
B. 30 °
C. 60 °
D. 0 °
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có độ dài cạnh bằng 3. Một mặt phẳng (α) đồng thời cắt các cạnh AA′,BB′,CC′,DD′ lần lượt tại các điểm M,N,P,Q. Diện tích tứ giác MNPQ bằng 18. Góc giữa (α) và mặt phẳng đáy bằng
1. Cho tứ giác ABCD ( AD không song song BC) có E,F lần lượt là trung điểm AD, BC và EF=AB+CD/2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
2. Cho tứ giác ABCD có AD=BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N của 2 cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh góc AEM=góc MFB.
3. Cho tam giác ABC (AB>AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD=AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh góc BAC = 2.BMN
4. Cho tứ giác ABCD, gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đồng quy.
5. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác ABC. Gọi A', B', C', G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên đường thẳng d. Chứng minh GG'=AA'+BB'+CC'/3
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' tâm O cạnh có độ dài bằng 1. Gọi M, P là 2 điểm sao cho \(\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AA'}\) , \(\overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CC'}\) . Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) thay đổi qua M, P đồng thời cắt 2 cạnh BB' và DD' lần lượt tại N và Q. Tìm GTNN và GTLN của chu vi tứ giác MNPQ ?
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ cạnh aa và một điểm MM trên cạnh AB,AM=x,0<x<aAB,AM=x,0<x<a. Xét mặt phẳng (PP) đi qua điểm MM và chưa đường chéo A′C′A′C′ của hình vuông A′B′C′D′.A′B′C′D′.
1.1. Tính diện tích của thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (PP).
2.2. Mặt phẳng (PP) chia hình lập phương thành hai khối đã diện. Hãy tìm xx để thể tích của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích của khối đa diện kia.
SAMQ = \(\dfrac{2}{3}\)SABQ (vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{2}{3}\)AB)
SABQ = \(\dfrac{1}{2}\)SABD ( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)
SABD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒ SAMQ = \(\dfrac{2}{3}\) \(\times\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{6}\) SABCD = 96 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 16 (cm2)
SDPQ = SCPN = \(\dfrac{1}{2}\)SCDN = (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{1}{2}\)CD)
SCDN = \(\dfrac{1}{2}\)SBCD ( Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{2}\) CB)
SBCD = \(\dfrac{1}{2}\)SABCD (vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒ SDPQ = SCPN = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)SABCD = 96 \(\times\)\(\dfrac{1}{8}\) = 12 (cm2)
BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB
SBMN = \(\dfrac{1}{3}\)SABN (Vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{3}\) AB)
SABN = \(\dfrac{1}{2}\)SABC (Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{1}{2}\)BC)
SABC = \(\dfrac{1}{2}\) SABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒SBMN = \(\dfrac{1}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)SABCD = 96 \(\times\) \(\dfrac{1}{12}\) = 8 (cm2)
SMNPQ = SABCD - (SAMQ + SDPQ + SCPN + SBMN)
SMNPQ = 96 - (16 + 12 + 12 + 8) = 48 (cm2)
Đáp số: 48 cm2
Bài 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh là a, trên cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM BN. Gọi K là giao điểm của AN và DM.
a/. Chứng minh rằng 4 điểm C, D, K, N cùng thuộc một đường tròn.
b/. Trong trường hợp M, N là trung điểm của AB và BC. Hãy xác định tâm của đường tròn này và tính bán kính của đường tròn theo a.
Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD). Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = CN.
c) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt AB tại P, cắt cạnh CD tại Q. chứng minh rằng PBQD là hình thoi.
c) PQ ⊥ BD (gt). Xét các tam giác vuông POB và QOD có:
∠POB = ∠QOD∠ (đối đỉnh),
OB = OD
∠PBO = ∠QDO (so le trong).
Do đó ΔPOB = ΔQOD (g.c.g) ⇒ BP = DQ
Lại có BP // DQ nên tứ giác PBQD là hình bình hành
Mặt khác PBQD có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,SA. Q là 1 điểm thuộc đoạn SP.
a, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( ∝) đi qua Q và song song với (SBN)
b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( Ф) đi qua MN song song với (SAD)
2. Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M,N,P là trung trọng tâm các tam giác AA'B, CA'C', CBC'
a, Xác định giao tuyến 2 mặt phẳng (ABC) và (BA'C')
b, Chứng minh MN // (BA'C'), (MNP) // (BA'C')
c, Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) Tính diện tích thiết diện biết tam giác BA'C' là tam giác đều cạnh a
3, Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Trên các cạnh AB,CC',C'D' và AA' lấy các điểm M,N,P,Q sao cho AM = C'N = C'P = AQ = x ( 0 <= x <= a)
a, Chứng minh M,N,P,Q đồng phẳng và Mp,Nq cắt nhau tại 1 điểm cố định
b, Chứng minh MNPQ đi qua 1 đường thẳng cố định
c, Dựng thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (MNPQ). Tìm GTLN và GTNN của chu vi thiết diện
