Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-my=2-4m\\mx+y=3m+1\end{matrix}\right.\)
Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Gỉa sử (x0; y0) là 1 nghiệm của hệ. Chứng minh đẳng thức x02 + y02 - 5(x0 + y0) + 10 = 0
Bài 1: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=9\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Tìm m để hệ có nghiệm x= -1, y=3
c) Chứng tỏ hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của tham số m
(mink đag cần gấp)
a. Bạn tự giải
b. Thế cặp nghiệm x=-1, y=3 vào hệ ban đầu ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}-1+3m=9\\-m-9=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=10\\-m=13\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
c. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=9m\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+3\right)y=9m-4\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{9m-4}{m^2+3}\\x=\dfrac{4m+27}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)
Vậy với mọi m thì hệ luôn có nghiệm duy nhất như trên
Cho hệ phương trình :\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y < 0
Lời giải:
Từ PT$(1)\Rightarrow x=m+1-my$. Thay vô PT(2):
$m(m+1-my)+y=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)+m^2+m=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)=-m^2+2m-1(*)$
Để hpt có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thì pt $(*)$ cũng phải có nghiệm $y$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
Khi đó: $y=\frac{-m^2+2m-1}{1-m^2}=\frac{-(m-1)^2}{-(m-1)(m+1)}=\frac{m-1}{m+1}$
$x=m+1-my=m+1-\frac{m(m-1)}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}$
Có:
$x+y=\frac{m-1}{m+1}+\frac{3m+1}{m+1}=\frac{4m}{m+1}<0$
$\Leftrightarrow -1< m< 0$
Kết hợp với đk $m\neq \pm 1$ suy ra $-1< m< 0$ thì thỏa đề.
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)(m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y<0
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\).Tìm các giá trị tham số của m để hệ phương trình
a) Có nghiệm duy nhất;
b) Vô nghiệm;
c) Vô số nghiệm
Bài 1: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\) (m là tham số). Tìm các giá trị tham số m để hệ phương trình:
a) Có nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
c) Vô số nghiệm
Bài 2: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\) (m là tham số). Tìm các giá trị m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) sao cho x và y nguyên.
Bài 1:
- Với \(m=0\) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}0x+y=3.0-1\\x+0y=0+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=0\) hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
- Với \(m\ne0\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2x-my=-3m^2+m\\x+my=m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-m^2\right)x=-3m^2+2m+1\left(1\right)\)
- Với \(m=1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=0\) (phương trình vô số nghiệm).
\(\left(2\right)\Rightarrow x+y=2\Leftrightarrow y=2-x\)
- Vậy với \(m=1\) thì hệ đã cho có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-x\end{matrix}\right.\)
Với \(m=-1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=-4\) (phương trình vô nghiệm)
Vậy với \(m=-1\) thì hệ đã cho vô nghiệm
Với \(m\ne\pm1,0\).
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+2m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+3m-m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m\left(1-m\right)+\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(1-m\right)\left(3m+1\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m+1}{m+1}\)
Thay vào (2) ta được:
\(\dfrac{3m+1}{m+1}+my=m+1\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=m^2+2m+1\)
\(\Leftrightarrow my\left(m+1\right)=m^2-m\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m\left(m-1\right)}{m\left(m+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m-1}{m+1}\)
Vậy với \(m\ne\pm1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3m+1}{m+1};\dfrac{m-1}{m+1}\right)\).
Bài 2:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\left(2\right)\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+4\left(m+1\right)y=-4\\4x-y=-2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\left(m+1\right)y-y=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(4m+3\right)y=-6\)
\(\Rightarrow y=-\dfrac{6}{4m+3}\)
Để y nguyên thì:
\(6⋮\left(4m+3\right)\)
\(\Rightarrow\left(4m+3\right)\inƯ\left(6\right)\)
\(\Rightarrow4m+3\in\left\{1;2;3;6;-1;-2;-3;-6\right\}\)
4m+3 | 1 | 2 | 3 | 6 | -1 | -2 | -3 | -6 |
m | -1/2 (loại) | -1/4 (loại) | 0 (nhận) | 3/4 (loại) | -1 (nhận) | -5/4 (loại) | -3/2 (loại) | -9/4 (loại) |
\(\Rightarrow m\in\left\{0;-1\right\}\)
Với \(m=0\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.0+3}=-2\)
Thay vào (1) ta được:
\(4x-\left(-2\right)=-2\Leftrightarrow x=-1\)
Thử lại \(x=-1;y=-2\) cho (2) ta thấy phương trình nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Với \(m=-1\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.\left(-1\right)+3}=6\)
Thay \(y=6\) vào (2) ta được:
\(4x-6=-2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Thử lại \(x=1;y=6\) cho (2) ta thấy pt nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;6\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Cho hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}3x-my=-9\\mx+2y=16\end{matrix}\right.\)
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
Mình đang cần gấp, nhờ các bạn!!!
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\\left(m+1\right)x+my=7\end{matrix}\right.\)
a) chứng minh rằng: với mọi m thì hệ phương trình luôn có nghiệm x,y thỏa mãn x.y =< 1
b) tìm m là số nguyên để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x.y>0
Lời giải:
a.
Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$
$\Leftrightarrow x+2m=7$
$\Leftrightarrow x=7-2m$
$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$
Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$
Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:
$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$
Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$
b.
$xy>0$
$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$
$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$
$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$
Do $m$ nguyên nên $m=3$
Thử lại thấy đúng.
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx-\left(m+1\right)y=3m\\x-2my=m+2\\x+2y=4\end{matrix}\right.\) . Biết hệ phương trình có nghiệm khi tham số \(m=m_0\) . Giá trị \(m_0\) là ?
giúp mình với
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\). Tìm các giá trị tham số của m để hệ phương trình:
a) Có nghiệm duy nhất;
b) Vô nghiệm;
c)Vô số nghiệm.