+) Xét n = 2k ( n chẵn) => 2n³; 2n²; 2n đều chia hết cho 4 ; 7 chia 4 dư 3

=> A chia cho 4 dư 3

Mà Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1=> không có số n chẵn nào để A là số chính phương

+) Xét n lẻ : n = 2k + 1

A = 2n .(n² + n + 1) + 7 = 2(2k +1).(4k² + 4k + 1 + 2k + 1+ 1) + 7 = (4k + 2). (4k² + 6k + 3) + 7

= 16k³ + 24k² + 12k + 8k² + 12k + 6  + 7 

= 16k³ + 32k² + 24k + 13 

13 chia cho 8 dư 5 ; 16k³; 32k²; 24k chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5

Mà số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1; 4 ( chứng minh dễ dàng bằng cách xét các trường hợp; 8m; 8m + 1; ..; 8m+ 7)

=> Không có số n lẻ nào để A là số chính phương

Vậy Không tồn tại số nguyên n để A là số chính phương

+) Xét n = 2k ( n chẵn) => 2n³; 2n²; 2n đều chia hết cho 4 ; 7 chia 4 dư 3

=> A chia cho 4 dư 3

Mà Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1=> không có số n chẵn nào để A là số chính phương

+) Xét n lẻ : n = 2k + 1

A = 2n .(n² + n + 1) + 7 = 2(2k +1).(4k² + 4k + 1 + 2k + 1+ 1) + 7 = (4k + 2). (4k² + 6k + 3) + 7

= 16k³ + 24k² + 12k + 8k² + 12k + 6  + 7 

= 16k³ + 32k² + 24k + 13 

13 chia cho 8 dư 5 ; 16k³; 32k²; 24k chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5

Mà số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1; 4 ( chứng minh dễ dàng bằng cách xét các trường hợp; 8m; 8m + 1; ..; 8m+ 7)

=> Không có số n lẻ nào để A là số chính phương

Vậy Không tồn tại số nguyên n để A là số chính phương

Vậy ko tồn tại số nguyên n để A là số chính phương

Kb nha

Dung 100 %

1/ Xét \(\left(n^{1010}\right)^2=n^{2020}< n^{2020}+1=\left(n^{1010}+1\right)^2-2n^{1010}< \left(n^{1010}+1\right)^2\)

Vì \(n^{2020}+1\)nằm ở giữa 2 số chính phương liên tiếp là \(\left(n^{1010}\right)^2\)và \(\left(n^{1010}+1\right)^2\)nên không thể là số chính phương.

2/ Mình xin sửa đề là 1 tí đó là tìm \(n\inℤ\)để A là số chính phương nha bạn, vì A hoàn toàn có thể là số chính phương

\(A>n^4+2n^3+n^2=\left(n^2+n\right)^2,\forall n\inℤ\)

\(A< n^4+n^2+9+2n^3+6n^2+6n=\left(n^2+n+3\right)^2,\forall n\inℤ\)

Vì A bị kẹp giữa 2 số chính phương là \(\left(n^2+n\right)^2,\left(n^2+n+3\right)^2\)nên A là số chính phương khi và chỉ khi:

+) \(A=\left(n^2+n+1\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+1+2n^3+2n^2+2n\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-3\end{cases}}\)

+) \(A=\left(n^2+n+2\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+4+2n^3+4n^2+4n\)

\(\Leftrightarrow3n^2+3n-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\notinℤ\)---> Với n=-3;2 thì A là số chính phương.

3/ Bằng phản chứng giả sử \(n^3+1\)là số chính phương:

---> Đặt: \(n^3+1=k^2,k\inℕ^∗\Rightarrow n^3=k^2-1=\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Vì n lẻ nên (k-1) và (k+1) cùng lẻ ---> 2 số lẻ liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau

Lúc này (k-1) và (k+1) phải là lập phương của 2 số tự nhiên khác nhau

---> Đặt: \(\hept{\begin{cases}k-1=a^3\\k+1=b^3\end{cases},a,b\inℕ^∗}\)

Vì \(k+1>k-1\Rightarrow b^3>a^3\Rightarrow b>a\)---> Đặt \(b=a+c,c\ge1\)

Có \(b^3-a^3=\left(k+1\right)-\left(k-1\right)\Leftrightarrow\left(a+c\right)^3-a^3=2\Leftrightarrow3ca^2+3ac^2+c^3=2\)

-----> Quá vô lí vì \(a,c\ge1\Rightarrow3ca^2+3ac^2+c^3\ge7\)

Vậy mâu thuẫn giả thiết ---> \(n^3+1\)không thể là số chính phương với n lẻ.

ông cũng chơi bang bang ak tích tui nha