Bạn vào link tham khảo :

https://hoidap247.com/cau-hoi/1226651

# Hok tốt !

\(x+y=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-x=y\\1-y=x\end{cases}}\)

thay vào A ta được : \(A=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có : \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

áp dụng \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\) ta có : \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\le2\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\)

dấu = xảy ra khi a=y=1/2

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+1=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+1=5\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

Đúng ko biết !?

Dự đoán điểm rơi tại x = y = ²/₃ ta sẽ làm như sau

\(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

    \(=\left(\frac{9x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{9y}{4}+\frac{1}{y}\right)-\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)

     \(\ge2\sqrt{\frac{9x}{4x}}+2\sqrt{\frac{9y}{4y}}-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\)

    Dấu "=" tại x = y = ²/₃

Cách khác là UCT (không hay như cách kia đâu=)

Ta sẽ chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\ge-\frac{5}{4}x+3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-2\right)^2}{4x}\ge0\) (đúng)

Thiết lập tương tự BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge-\frac{5}{4}\left(x+y\right)+6\ge-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}+6=\frac{13}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi 3x - 2 = 3y - 2 = 0 tức là x = y = ²/₃

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

\(Q=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\)

Ta có \(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)

Tương tự \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\)

                    \(\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\)

Lại có \(\frac{1}{1+y^2}=\frac{y^2+1-y^2}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)

Tương tự \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)

\(\frac{1}{1+z^2}\ge1-\frac{z}{2}\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được 

\(Q\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}+3-\frac{x+y+z}{2}\)\(=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1