tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình:\(2sin^2x-msinx+m-2=0\) có đúng 3 nghiệm trong khoảng ( 0;\(\pi\))
Cho phương trình sin x + 1 sin 2 x − m sin x = m cos 2 x . Tìm tập tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0 ; π 6
A. S = 0 ; 3 2
S. S = 0 ; 1
C. S = 0 ; 1 2
D. S = - 1 ; 3 2
Đáp án A
Phương pháp giải:
Biến đổi công thức lượng giác, đưa phương trình bài cho về dạng phương trình cơ bản, kết hợp với điều kiện nghiệm để tìm giá trị của tham số m
Lời giải:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 cos 2 3 x + 3 − 2 m cos 3 x + m − 2 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng − π 6 ; π 3
A. − 1 ≤ m ≤ 1
B. 1 < m ≤ 2
C. 1 ≤ m ≤ 2
D. 1 ≤ m < 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 cos 2 3 x + ( 3 - 2 m ) cos 3 x + m - 2 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng - π 6 ; π 3 .
A. - 1 ≤ m ≤ 1
B. 1 < m ≤ 2
C. 1 ≤ m ≤ 2
D. 1 ≤ m < 2
Đáp án D.
Đặt t = cos 3 x , ( - 1 ≤ t ≤ 1 ) Phương trình trở thành 2 t 2 + ( 3 - 2 m ) t + m - 2 = 0
Ta có ∆ = 2 m - 5 2 Suy ra phương trình có hai nghiệm t 1 = 1 2 t 2 = m - 2
Trường hợp 1:
Với t 1 = 1 2 → cos 3 x = 1 2 ⇔ 3 x = π 3 + k 2 π 3 x = - π 3 + k 2 π ⇔ x = π 9 + k 2 π 3 x = - π 9 + k 2 π 3
* Với x = π 9 + k 2 π 3 và x ∈ - π 6 ; π 3 thì - π 6 < - π 9 + k 2 π 3 < π 3 ⇔ 1 12 < k < 2 3
Do k ∈ ℤ nên k = 0 → x = - π 9
* Với x = - π 9 + k 2 π 3 và x ∈ - π 6 ; π 3 thì - π 6 < - π 9 + k 2 π 3 < π 3 ⇔ - 1 12 < k < 2 3
Do k ∈ ℤ nên k = 0 → x = - π 9
Suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trên khoảng - π 6 ; π 3
Trường hợp 2: Với t 2 = m - 2 → cos 3 x = m - 2 Xét f ( x ) = cos 3 x trên - π 6 ; π 3
Đạo hàm f ' ( x ) = - 3 sin 3 x ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∈ - π 6 ; π 3
Bảng biến thiên:
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm trên
-
π
6
;
π
3
khi và chỉ khi phương trình
cos
3
x
=
m
-
2
có 1 nghiệm trên
-
π
6
;
π
3
, hay đồ thị
f
(
x
)
=
cos
3
x
cắt đường thẳng
y
=
m
-
2
tại đúng 1 điểm. Quan sát bảng biến thiên, suy ra
-
1
≤
m
-
2
<
0
⇔
1
≤
m
<
2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình y = 5 cos x − m sin x = m + 1 có nghiệm
A. m ≤ 12
B. m ≤ − 13
C. m ≤ 24
D. m ≥ 24
tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(^{x^2-2x+\sqrt{-x^2+2x}-3+m=0}\) có nghiệm
Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)
\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)
\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình x 4 - 2 x 2 - 3 + m = 0 có đúng 2 nghiệm thực
A. ( - ∞ ; 3 ) ∪ 4
B. ( - ∞ ; 3 )
C. { - 4 } ∪ ( - ∞ ; 3 )
D. ( - 3 ; + ∞ )
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 - 2 x 2 - 3 + m = 0 có đúng 2 nghiệm thực.
A. - ∞ ; 3
B. - ∞ ; 3 ∪ 4
C. - 3 ; + ∞
D. - 4 ∪ - 3 ; + ∞
Câu 1: Tích các nghiệm trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right)\)của phương trình \(cos2x-3cosx+2=0\)
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(2cos^23x+\left(3-2m\right)cos3x+m-2=0\) có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\).
Câu 3: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình \(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\) trên đoạn \(\left[0;8\pi\right]\).
Câu 4: Giá trị của m để phương trình \(cos2x-\left(2m+1\right)sinx-m-1=0\) có nghiệm trên khoảng \(\left(0;\pi\right)\) là \(m\in[a;b)\) thì a+b là?
Câu 5: Điều kiện cần và đủ để phương trình \(msinx-3cosx=5\) có nghiệm là \(m\in(-\infty;a]\cup[b;+\infty)\) với \(a,b\in Z\). Tính a+b.
Câu 6: Điều kiện để phương trình \(msinx-3cosx=5\) có nghiệm là?
Câu 7: Số nghiệm để phương trình \(sin2x+\sqrt{3}cos2x=\sqrt{3}\) trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) là?
Câu 8: Tập giá trị của hàm số \(y=\dfrac{sinx+2cosx+1}{sinx+cosx+2}\) là?
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[-2018;2018\right]\) dể phương trình \(\left(m+1\right)sin^2-sin2x+cos2x=0\) có nghiệm?
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(sin2x-cos2x+|sinx+cosx|-\sqrt{2cos^2x+m}-m=0\) có nghiệm thực?
1.
\(cos2x-3cosx+2=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-3cosx+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(x=k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow\) không có nghiệm x thuộc đoạn
\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}{3};x_2=\dfrac{5\pi}{3}\)
\(\Rightarrow P=x_1.x_2=\dfrac{5\pi^2}{9}\)
2.
\(pt\Leftrightarrow\left(cos3x-m+2\right)\left(2cos3x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\cos3x=m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)
Ta có: \(x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(m=2\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\left(tm\right)\)
\(\Rightarrow m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2: \(m=3\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)
\(\Rightarrow m=3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH3: \(m=1\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{3}\\x=-1\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy \(m=2;m=3\)
3.
\(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2\dfrac{x}{4}+3cos\dfrac{x}{4}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}\\cos\dfrac{x}{4}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{4\pi}{3}+k8\pi\in\left[0;8\pi\right]\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4\pi}{3}\\x=\dfrac{20\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{20\pi}{3}=8\pi\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4 x - m . 2 x + 1 + 3 - 2 m ≤ 0 có nghiệm thực
A. m ≥ 2
B. m ≤ 3
C. m ≤ 5
D. m ≥ 1
Đáp án D
Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1