\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

Đặt \(a^2+5a+4=t\)

\(\Rightarrow M=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2\) là số  chính phương

a: Để M là số nguyên thì 5 chia hết cho căn a+1

=>căn a+1 thuộc {1;5}

=>a thuộc {0;4}

b: Khi a=4/9 thì \(M=1+\dfrac{5}{\dfrac{2}{3}+1}=1+5:\dfrac{5}{3}=1+3=4\)

=>M là số nguyên

c: \(\sqrt{a}+1>=1\)

=>\(\dfrac{5}{\sqrt{a}+1}< =5\)

=>M<=6

\(1< =\dfrac{5}{\sqrt{a}+1}< =5\)

=>2<=M<=6

M=2 khi \(\dfrac{5}{\sqrt{a}+1}+1=2\)

=>\(\dfrac{5}{\sqrt{a}+1}=1\)

=>căn a+1=5

=>căn a=4

=>a=16

M=3 khi \(\dfrac{5}{\sqrt{a}+1}=2\)

=>căn a+1=5/2

=>căn a=3/2

=>a=9/4

M=4 thì \(\dfrac{5}{\sqrt{a}+1}=3\)

=>căn a+1=5/3

=>căn a=2/3

=>a=4/9

\(M=5\Leftrightarrow\dfrac{5}{\sqrt{a}+1}=4\)

=>căn a+1=5/4

=>căn a=1/4

=>a=1/16

\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(=\left(a+1\right)\left(a+4\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)^2+2\left(a^2+5a+4\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+5\right)^2\) là bình phương của 1 số nguyên (đpcm)

M=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1

=(x²+5x+4)(x²+5x+6)+1

dat x²+5x+5=a ta co 

M=(a+1)(a-1)+1

=a²-1+1

=a²

thay a boi x²+5x+5 ta co M=(x²+5x+5)² (1)

ma x la so nguyen nen x²+5x+5 la so nguyen (2)

tu (1) va (2) thi M la binh phuong cua 1 so nguyen

Ta có:

\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(\Rightarrow M=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)

\(\Rightarrow M=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

Đặt \(a^2+5a+4=t\), ta có:

\(M=t\left(t+2\right)+1\)

\(\Rightarrow M=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(a^2+5a+5\right)^2\)

Vì a là số nguyên nên \(a^2+5a+5\) là số nguyên

Vậy \(M=\left(a^2+5a+5\right)^2=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\) là số nguyên (đpcm)

M = ( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 ) + 1

= [ ( a + 1 )( a + 4 ) ][ ( a + 2 )( a + 3 ) ] + 1

= ( a² + 5a + 4 )( a² + 5a + 6 ) + 1

Đặt t = a² + 5a + 4

M = t( t + 2 ) + 1

    = t² + 2t + 1

    = ( t + 1 )²

    = ( a² + 5a + 4 + 1 )²

    = ( a² + 5a + 5 )²

Vì a nguyên => a² + 5a + 5 nguyên

Vậy M =  ( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 ) + 1 là bình phương của một số nguyên ( đpcm )