Question

Cho a thuộc Z, CMR biểu thức

M=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) + 1 là bình phương của một số nguyên

Answer 1

Ta có:

\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(\Rightarrow M=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)

\(\Rightarrow M=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

Đặt \(a^2+5a+4=t\), ta có:

\(M=t\left(t+2\right)+1\)

\(\Rightarrow M=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(a^2+5a+5\right)^2\)

Vì a là số nguyên nên \(a^2+5a+5\) là số nguyên

Vậy \(M=\left(a^2+5a+5\right)^2=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\) là số nguyên (đpcm)