a) Do AB = 2a, AD = A nên AB = 2AD.

Lại có ABCD là hình bình hành nên AB = CD. Vậy thì \(DN=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=AD\)

Xét tam giác ADN có DA = DN nên ADN là tam giác cân tại D.

Do tam giác ADN cân tại D nên \(\widehat{DAN}=\widehat{DNA}\) 

Do AB//DC nên \(\widehat{BAN}=\widehat{DNA}\) (Hai góc so le trong)

Vậy nên \(\widehat{DAN}=\widehat{BAN}\) hay AN là phân giác góc \(\widehat{BAD}\)

b) Ta có \(MB=\frac{1}{2}AB;DN=\frac{1}{2}DC\Rightarrow\) MB song song và bằng ND.

Xét tứ giác MDNB có MB song song và bằng ND hay MDNB là hình bình hành.

Vậy thì MD // NB

c) Tương tự câu b, ta chứng minh được AMCN là hình bình hành hay AN // MC

Xét tứ giác MPNQ có MP//QN và MQ//PN nên MPNQ là hình bình hành.

Xét tứ giác AMND có AM song song và bằng ND hay AMND là hình bình hành.

Lại có AD = AM nên AMND là hình thoi. Suy ra AN vuông góc DM hay \(\widehat{MPN}=90^o\) .

Xét hình bình hành MPNQ có \(\widehat{MPN}=90^o\) nên MPNQ là hình chữ nhật.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên

AB=CD=2a, AD=BC=a

ta có: M,N là trung điểm của AB và CD

=> DN=1/2CD=a

=> AD=DN

Vậy tam giác ADN cân tại D(đpcm)

=> DAN=DNA

b) Ta có: AB//CD => AND=MAN(So le trong)

=> DAN=MAN

=>AN là tia phân giác của góc BAD

c)  Chứng minh tương tự câu B ta được:

AMCN là hình bình hành (vì AM//CN, AM=CN)

=>AN//CM=> PN//MQ

Ta có: BMND là hình bình hành (chứng minh b)

=>DM//BN => MP//NQ

=> MPNQ là hình bình hành(1)

Ta có: AM//DN,AM=DN=a

=> AMND là hình bình hành

mặt khác AD=AN(chứng minh a)

=>AMND là hình thoi

=> AN vuông góc với DM(tính chất 2 đường chéo của hình thoi)

=> MPN= 90 độ (2)

Từ (1) và (2) suy ra PMQN là hình chữ nhật ( dấu hiệu: hbh có 1 góc vuông là hcn)

a) Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)

\(CF=FD=\dfrac{CD}{2}\)(F là trung điểm của CD)

mà AB=CD(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

nên AE=CF=FD=EB

Xét tứ giác AECF có 

AE//CF(AB//CD, E∈AB, F∈CD)

AE=CF(cmt)

Do đó: AECF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Xét tứ giác AEFD có 

AE//FD(AB//CD, E∈AB, F∈CD)

AE=FD(cmt)

Do đó: AEFD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c) Ta có: AF//CE(Hai cạnh đối trong hình bình hành AECF)

mà H∈AF(gt)

và K∈CE(gt)

nên HF//KC và EK//AH

Xét ΔDKC có 

F là trung điểm của CD(gt)

FH//DK(cmt)

Do đó: H là trung điểm của DK(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

⇒DH=KH(1)

Xét ΔABH có 

E là trung điểm của AB(gt)

EK//BH(cmt)

Do đó: K là trung điểm của BH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

⇒BK=KH(2)

Từ (1) và (2) suy ra DH=HK=KB(đpcm)