Đẳng thức đã cho tương đương với 

\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)

Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh

Thật sự ra mục đích bài này đi chứng minh biểu thức trong ngoặc là scp

Đây là dề thi HSG toán cấp tỉnh Đồng Tháp

Có: \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(x^2+xy+yz+xz\right)\left(y^2+xy+yz+xz\right)\left(z^2+xy+yz+xz\right)}\)

Sau đó thực hiên phân tích đa thức thành nhân tử mỗi ngoặc

\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}\)

\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)là số hữu tỉ

Vậy

Câu số 1b đề thi hsg

Chào anh từ  huyện Cao Lãnh 

Lời giải:

Ta có: \((x+y)^3=xy(3x+3y+2)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)=3xy(x+y)+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3=2xy\)

Nếu trong hai số $x,y$ tồn tại số bằng $0$ thì \(\sqrt{1-xy}=1\in\mathbb{Q}\)

Nếu cả hai số $x,y$ đều khác $0$

Chia cả hai vế cho $xy$ ta thu được:

\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}+2xy=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}-2xy=4-4xy\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}\right)^2=4(1-xy)\)

\(\Leftrightarrow 1-xy=\left(\frac{x^2}{2y}-\frac{y^2}{2x}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{1-xy}=|\frac{x^2}{2y}-\frac{y^2}{2x}|\in \mathbb{Q}\) do \(x,y\in\mathbb{Q}\)

Ta có đpcm.

a) \(4\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\) là bình phương 1 số hữu tỉ => 4(xy+yz+zx) cũng là bp số hữu tỉ mà 4=2² => xy+yz+zx là bp 1 số hữu tỉ 

b) \(x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2+z^2=4xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2z\left(x+y\right)+z^2=4xy\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)

Do (x+y-z)² là bình phương 1 số hữu tỉ => 4xy là bp số hữu tỉ => xy là bp số hữu tỉ 

\(x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(1+xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xy+1}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow xy+1=\left(x+y\right)^2\)

Vì x,y là các số hữu tỉ nên xy + 1 là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)

Câu hỏi của Nguyễn Phong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=k\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=3k\\y=5k\end{matrix}\right.\)

\(xy=60\) 

⇒ \(3k.5k=60\)

⇒ \(15k^2=60\)

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}k=2\\k=-2\end{matrix}\right.\)

Bạn thay vào nữa là được nha