cm bất đẳng thức sau vs x, y, z>0
X^2+y^2+z^2>_xy+yz+zx
Những câu hỏi liên quan
x,y,z>0. CMR \(x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Từ bất đẳng thức trên + x+y+z=1 làm sao để suy ra \(9xyz\ge4\left(xy+yz+zx\right)-1\)
Cm bất đẳng thức sau vs x, y, z>_0
4(x^2+y^2+z^2)>_(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2\ge2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
A no thơ quay nhưng lại không hay:P(Another way)
\(BĐT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (biến đổi tương đương thôi)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\) (true)
Đẳng thức xảy ra khi x =y = z
P/s: cách này làm màu thôi :D
Đúng 0
Bình luận (0)
Thực ra mấy dạng bậc 2 kiểu này theo em thì dùng công thức \(at^2+bt+c=a\left(t+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\) (bằng cách đưa về đa thức biến t)
Chi tiết như sau:(sai chỗ nào bl cho em biết cái nha:D)
BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(y+z\right)+y^2+z^2-yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{y+z}{2}\right)^2+\frac{4\left(y^2+z^2-yz\right)-\left(y+z\right)^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(2x-y-z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cm bất đẳng thức sau vs x, y, z>_0.
3(x^2+y^2+z^2)>_(x+y+z)^2
Biến đổi tương đương:
\(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(x+y+z=3.\) Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\ge6\).
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
Đặt x = 1 + a ; y = 1 + b , ( a , b $\in$∈ R ). Từ giả thiết suy ra z = 1 - a - b.
Ta có:
$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx$x2+y2+z2+xy+yz+zx$=\left(1+a\right)^2+\left(1+b\right)^2+\left(1-a-b\right)^2+\left(1+a\right)\left(1+b\right)+\left(1+b\right)\left(1-a-b\right)+\left(1-a-b\right)\left(1+a\right)=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+6\ge6.$=(1+a)2+(1+b)2+(1−a−b)2+(1+a)(1+b)+(1+b)(1−a−b)+(1−a−b)(1+a)=(a+b2 )2+3b24 +6≥6.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
$b=0;a+\frac{b}{2}=0\Leftrightarrow a=0;b=0\Leftrightarrow x=y=z=1.$b=0;a+b2 =0⇔a=0;b=0⇔x=y=z=1.
Đúng 0
Bình luận (0)
xem ở http://olm.vn/hoi-dap/question/423016.html
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh hằng đẳng thức:(x+y+z)2 - x2 - y2 - z2=2(xy+yz+zx)
GIÚP VS!!!!!!!!!!!!!
\(VT=\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2-x^2-y^2-z^2\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)z+z^2-x^2-y^2-z^2\)
\(=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2-x^2-y^2-z^2\)
\(=2xy+2yz+2zx\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=VP\)
Vậy...
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh hằng đẳng thức:(x+y+z)2 - x2 - y2 - z2=2(xy+yz+zx)
GIÚP VS!!!!!!!!!!!!!
Xin lỗi mk viết nhầm
(x+y+z)2-x2-y2-z2 =x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)-x2-y2-z2
Đúng 0
Bình luận (0)
(x+y+z)2-x2-y2-z2
=x2+y2+2(xy+yz+xz)-x2-y2-z2
= 2(xy+yz+xz)
Vậy hằng đẳng thức được chứng minh
Đúng 0
Bình luận (0)
Giải phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ ( dùng Hằng đẳng thức, Bất đẳng thức )
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\\x+y+z=3\end{cases}}\)
Chứng minh đẳng thức sau: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-\left[3xy\left(x+y\right)+3xyz\right]\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(x+y\right).z-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yx-3xz-3yz-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)
Chứng minh đẳng thức :
(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2(xy+yz+zx)
