Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    và     \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(đpcm)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Dòng thứ 5 nhầm dấu ạ :D Sửa :

\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)           

(đpcm)

Em học lớp 8 nên không chắc lắm, vì đội tuyển có dạng này rồi nên em giúp chị nhé :

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số a,b dương ta có :

\(\left(a+b\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\) (1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (2)

Nhân vế với vế của BĐT (1) và (2) ta được :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\cdot2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}>0\) và \(a+b\ge2\sqrt{ab}>0\)

nên \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}.2\sqrt{ab}=4\)

Dấu đảng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Cách khác: Ta có thể viết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương liên tiếp:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)

Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)

\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:

\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

Chúc bạn học tốt ~ 

BĐT tương đương

\(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

sau đó nhân phá ra và đưa về dạng tổng các bình phương