Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\)
\(\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4ab\le a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
1. Tính giá trị biểu thức: \(A=\sqrt{a^2+4ab^2+4b}-\sqrt{4a^2-12ab^2+9b^4}\) với \(a=\sqrt{2}\) ; \(b=1\)
2. Đặt \(M=\sqrt{57+40\sqrt{2}}\) ; \(N=\sqrt{57-40\sqrt{2}}\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) M-N
b) \(M^3-N^3\)
3. Chứng minh: \(\left(\frac{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}{x-\sqrt{3x}+3}-2\sqrt{x}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{3-x}\right)=1\) (với \(x\ge0\) và \(x\ne3\))
4. Chứng minh: \(\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=a-b\) (a > 0 ; b > 0)
5. Chứng minh: \(\sqrt{9+4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+1\) ; \(\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}=5+3\sqrt{2}\) ; \(3-2\sqrt{2}=\left(1-\sqrt{2}\right)^2\)
6. Chứng minh: \(\left(\frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}-\left(3\sqrt{2}+\sqrt{17}\right)\right)^2=\left(\frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{17}}-\left(2\sqrt{2}-\sqrt{17}\right)\right)^2\)
7. Chứng minh đẳng thức: \(\left(\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{27}-3}-\frac{\sqrt{150}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{4}{3}\)
8.Chứng minh: \(\frac{2002}{\sqrt{2003}}+\frac{2003}{\sqrt{2002}}>\sqrt{2002}+\sqrt{2003}\)
9. Chứng minh rằng: \(\sqrt{2000}-2\sqrt{2001}+\sqrt{2002}< 0\)
10. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) ; \(\frac{7}{5}< \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}< \frac{29}{30}\)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left(1-a^2\right):\left(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)\right)+1=\frac{2}{1-a}\)
b) \(\left(\sqrt{a}+\frac{b-\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right):\left(\frac{a}{\sqrt{ab}+b}+\frac{b}{\sqrt{ab}-a}-\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\right)=\sqrt{b}-\sqrt{a}\)
c) \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{a+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}.\left(\frac{\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}\right)=\frac{\sqrt{a}}{a}\)
Bài 1 :
a, \(\sqrt{45}-2\sqrt{\frac{4}{3}}+\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{6}}-\sqrt{5\frac{1}{3}}\)
b, (\(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) )2 +\(\sqrt{84}\)
Bài 2 : Chứng minh đẳng thức
\(\left(\frac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}-1}\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}\right):\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=4\)
Bài 3: Cho biểu thức : A=\(\left(1-\frac{2\sqrt{2a}}{a+2}\right):\left(\frac{1}{\left(\sqrt{a}+2\right)}-\frac{2\sqrt{2a}}{\left(a+2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\right)\)
a. Rút gọn A
b. Tính A khi a =2009-2\(\sqrt{2008}\)
Bài 4 : Cho A =\(\left(1-\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1}\right):\frac{x-2\sqrt{x}}{x-1}\) điều kiện x>0 , x≠1,x≠4
a.Rút gọn
b. Tìm x để A =\(\frac{1}{2}\)
a, Chứng minh rằng: |a+b| ≤ \(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) với mọi a, b
b, Tìm x biết: \(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\) > 0
Chứng minh đẳng thức sau:
\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\div\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=-1\)
B1 Cho biểu thức A=\(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x-3}{x+2\sqrt{x}+4}-\frac{\sqrt{x}+7}{x\sqrt{x}-8}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+7}{x+2\sqrt{x}+4}\right)\)
1, Rút gọn A. Tìm x sao cho A<2
2, Cho 1≤a,b,c≤2. Chứng minh rằng \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le10\)
cho a,b,c đều dương . Chứng minh \(\left(\frac{4a}{b+c}+1\right)\left(\frac{4b}{a+c}+1\right)\left(\frac{4c}{a+b}\right)>25\)
Cho a,b ,c là các số thực thỏa mãn (a-b)(a-c)=1 b khác c. Chứng minh
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge4\)
Rút gọn biểu thức về dạng không dấu căn
\(\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}}\)
