Em học lớp 8 nên không chắc lắm, vì đội tuyển có dạng này rồi nên em giúp chị nhé :
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số a,b dương ta có :
\(\left(a+b\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}\) (2)
Nhân vế với vế của BĐT (1) và (2) ta được :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\ge2\cdot\sqrt{ab}\cdot2\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) (đpcm)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}>0\) và \(a+b\ge2\sqrt{ab}>0\)
nên \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}.2\sqrt{ab}=4\)
Dấu đảng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Cách khác: Ta có thể viết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương liên tiếp:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
