CMR : B = \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) là số hữu tỉ
\(CMR\sqrt{2};\sqrt{3},\sqrt{5};\sqrt{6}..............\text{Không phải là số hữu tỉ }\)
Bài 1 : Tìm phần nguyên của số a biết \(a=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}+\sqrt[4]{\dfrac{4}{3}}+...+\sqrt[n+1]{\dfrac{n+1}{n}}\)
Bài 2 : Cho \(x=\dfrac{2}{2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}};y=\dfrac{2}{2\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{4}}\).Tính xy^3 - x^3y
Bài 3 CMR \(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4.....\sqrt{2000}}}}< 3\)
Bài 4 Tồn tại hay không các số hữu tỉ a,b,c,d sao cho \(\left(a+b\sqrt{2}\right)^{1994}+\left(c+d\sqrt{2}\right)^{1994}=5+4\sqrt{2}\)
Bài 5 CMR nếu a,b,c và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) là các số hữu tỉ thì \(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\) là các số hữu tỉ
Các bạn giúp mk nha đg cần gấp,làm đc bài nào thì cmt ở dưới nha
a) cho a , b , c thuộc Q thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . CMR :
A = căn của ( a^2 + 1 ) ( b^2 + 1 ) ( c^2 + 1 ) là số hữu tỉ
b ) B = \(\sqrt{2\:+\:\sqrt{2\:+\:\sqrt{2\:+\:...\:+\:\sqrt{2}}}}\) có 100 dấu căn
CMR : B không phải là số tự nhiên
c ) CMR : \(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\:...\:\sqrt{2000}}}}\)< 3
Các bạn giúp mình với , mk cảm ơn
a) \(ab+bc+ca=1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1-2abc\left(a+b+c\right)\\\left(a+b+c\right)^2-2=a^2+b^2+c^2\end{cases}}\)
\(A=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2+1}\)
\(A=\sqrt{a^2b^2c^2-2abc\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(A=\sqrt{\left(abc-a-b-c\right)^2}=\left|abc-a-b-c\right|\)
Do a, b, c là các số hữu tỉ nên \(\left|abc-a-b-c\right|\) là số hữu tỉ
b) \(B=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1}}}}=1\)
\(B< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}}=\sqrt{2+2}=2\)
=> \(1< B< 2\) B không là số tự nhiên
c) câu này có ng làm r ib mk gửi link
à chỗ câu b) mình nhầm tí nhé
\(B=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1}}}}>1\)
Sửa dấu "=" thành ">" hộ mình
1, Rút gọn A = \(\frac{\sqrt{2+\sqrt{4-x^2}}\left[\sqrt{\left(2+x\right)^3}-\sqrt{\left(2-x\right)^3}\right]}{4+\sqrt{4-x^2}}\)
2, Cho trước số hữu tỉ m sao cho \(\sqrt[3]{m}\) là số vô tỉ. Tìm a, b, c hữu tỉ để \(a\sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0\)
Bài 1. Cho a, b, c \(\in\)Q tm ab+bc+ac=1
CMR: \(A=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)là số hữu tỉ
B2. \(B=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}\)( có 100 dấu căn)
CMR: B ko là số tự nhiên
B3.
CMR: \(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}< 3\)
các đại ca đại tỷ giúp mk với
3) Ta có:\(\sqrt{2000}< 2001\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{1999.\sqrt{2000}}< \sqrt{1999.2001}< \frac{1999+2001}{2}=2000\)
Tương tự ta có:
\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4--...\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4=.\sqrt{1999.2001}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4-\sqrt{1998.2000}}}}--< \sqrt{2.4}< 3\)
1)
Với ab + bc + ac = 1 có:
\(a^2+1=a^2+ab+ac+bc=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(b^2+1=b^2+bc+ca+ab=b\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(c^2+1=c^2+bc+ca+ab=c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Do đó: \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}\)
\(=|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)|\)
Vì \(a,b,c\in Q\Rightarrow|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)|\in Q\left(đpcm\right)\)
Cho a và b là 2 số hữu tỉ khác 0. CMR tồn tại 2 số hữu tỉ x và y sao cho \(\left(a+b\sqrt{5}\right)\left(x+y\sqrt{5}\right)=b+a\sqrt{5}\)
CMR:\(\sqrt{2}+\sqrt{3};\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\) không là các số hữu tỉ
Lời giải:
Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}=a$ là một số hữu tỉ.
\(\Rightarrow (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow 5+2\sqrt{6}=a^2\Rightarrow \sqrt{6}=\frac{a^2-5}{2}\) là số hữu tỉ.
Đặt \(\sqrt{6}=\frac{a^2-5}{2}=\frac{m}{n}(m,n\in\mathbb{Z}^+; (m,n)=1)\)
\(\Rightarrow 6=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=6n^2\vdots 3\)
\(\Rightarrow m\vdots 3\Rightarrow 6n^2=m^2\vdots 9\Rightarrow n^2\vdots 3\Rightarrow n\vdots 3\). Vậy $m,n$ cùng có ước chung là $3$ (vô lý vì $(m,n)=1$). Do đó điều giả sử là sai. Nghĩa là $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ không phải số hữu tỉ.
---------------------------------
Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=b$ là số hữu tỉ
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}=b-\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow 5+2\sqrt{6}=b^2+5-2b\sqrt{5}\) (bình phương 2 vế)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{6}=b^2-2b\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow 24=b^4+20b^2-4b^3\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{5}=\frac{b^4+20b^2-24}{4b^3}\) là số hữu tỉ.
Đặt \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}(m,n\in\mathbb{Z}^+, (m,n)=1)\)
\(\Rightarrow 5=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=5n^2\)
\(\Rightarrow m^2\vdots 5\Rightarrow m\vdots 5\Rightarrow 5n^2=m^2\vdots 25\Rightarrow n^2\vdots 5\Rightarrow n\vdots 5\)
Như vậy $m,n$ có ước chung là $5$ (vô lý vì $(m,n)=1$). Do đó điều giả sử là sai. Tức là $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ không là số hữu tỉ.
\(P=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}-...+\frac{1}{\sqrt{1992}-\sqrt{1993}}\) là số hữu tỉ hay vô tỉ
Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}=-\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{1992}-\sqrt{1993}}\)
\(=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}-\sqrt{5}+...+\sqrt{1992}+\sqrt{1993}\)
\(=\sqrt{1993}-\sqrt{2}\)
Vậy P là số vô tỉ
sao lại biết \(\sqrt{1993}-\sqrt{2}\)là số vô tỉ
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{99\sqrt{100}+100\sqrt{99}}..\)
là số hữu tỉ
Ta có:
\(\frac{1}{n\sqrt{\left(n+1\right)}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{\left(n+1\right)}\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Thế vào ta được
\(\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{99\sqrt{100}+100\sqrt{99}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)