Bài 1
Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Tìm min \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Bài 2:
Tìm min của \(A=3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c\le\frac{3}{2}\)
tìm min B=\(\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\text{⋄}\)Dễ có: \(B\ge\left(3+\frac{4}{a+b}\right)\left(3+\frac{4}{b+c}\right)\left(3+\frac{4}{c+a}\right)\)
\(\text{⋄}\)Đặt \(b+c=x;c+a=y;a+b=z\left(x,y,z>0\right)\)thì \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Giả thiết được viết lại thành: \(x+y+z\le3\)và ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)\)
\(\text{⋄}\)Ta có: \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)=27+36\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+48\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{64}{xyz}\)\(\ge27+36.\frac{9}{x+y+z}+48.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+64.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge343\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1/2
Tìm min,max của P=xyz biết A= \(\frac{8-x^2}{16+x^4}+\frac{8-y^2}{16+y^4}+\frac{8-z^2}{16+z^4}\ge0.\)
Cho a;b;c >0 thỏa mã \(a+b+c\le3\)Tìm min P \(=\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
Tìm MIn \(P=\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
Trong đó a,b,c dương t/mãn a+b+c=<3/2
Gọi S có n số hạng sao cho S = 1+ 2+ 3 + ...+ n = aaa ( a là chữ số)
=> (n + 1).n : 2 = a.111
=> n(n + 1) = a.222
=> n(n + 1) = a.2.3.37
a là chữ số mà n; n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 6
=> n(n + 1) = 36.37
=> n = 36
Vậy cần 36 số hạng
cho mình nha
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(VT=\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\left(3+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge(3+2+2)^3=343\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Tìm Min của \(P=\frac{a^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)bc}+\frac{b^2}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)ca}+\frac{c^2-a^2b-ab-a-1}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)ab}\)
\(P=\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}-1\)
\(P=\frac{a^3}{\left(a+1\right).\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(b+1\right).\left(c+1\right)}+\frac{c^3}{\left(c+1\right).\left(a+1\right)}\)
Ko biết đúng hay không!
Mới lớp 6 , mà tôi nghĩ Lầy Văn Lội đúng đấy!
a) Cho a,b>0, a+b=<1.Tìm Min của A = \(^{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2}\)+ \(^{\left(b+\frac{1}{b}\right)^2}\)
b) Cho a,b,c >0, a+b+c =<1,5. Tìm Min của B= \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)
a, Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b, Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x,y,z>0\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2+\left(1+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{3}=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
* Các BĐT phụ bạn tự CM nha! Chúc bạn học tốt
Camon bạn!!! Nhưng bạn đọc sai đề r !! ^.^
Bài 1: cho x khác 0, tìm Min \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)
Bài 2: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3abc
Tìm Min: \(P=\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\)
Đề thi HSG đấy ạ!
Bài làm:
Bài 1:
Ta có: \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)
\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)
\(=\left(2x-1\right)^2+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)\(\ge0+2\sqrt{4x^2.\frac{1}{4x^2}}+14=2+14=16\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\4x^2=\frac{1}{4x^2}\end{cases}\Rightarrow x=\frac{1}{2}}\)
Vậy \(Min\left(T\right)=16\)khi \(x=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\left(1\right)\)
Ta xét \(\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{\left(c^2+a^2\right)-c^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{1}{c}-\frac{c}{c^2+a^2}=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b\)và \(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức trên lại ta được:
\(P\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\left(theo\left(1\right)\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\b^2=c^2\\c^2=a^2\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)
Vậy \(Min\left(P\right)=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
Học tốt!!!!
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1
Tìm Min của P=\(\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}+\frac{b^2}{\left(bc+2\right)\left(2bc+1\right)}+\frac{c^2}{\left(ac+2\right)\left(2ac+1\right)}\)
ÁP dụng BĐT AM-Gm ta có:
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}\ge\frac{4}{9}\cdotΣ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}\)
ĐẶt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\) thì cần cm
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}=Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
\(Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\)
Theo C-S \(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}=\frac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}\ge\frac{\left(Σxy\right)^2}{2xy\left(Σx\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{3}\cdot\left(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Đúng hay ta có ĐPCM xyar ra khi a=b=c=1
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)
Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^5+y^5+z^5\)
Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=1.\)Tìm Min
\(P=2020\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Bài 4: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức \(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
3. Áp dụng cô si ta có
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)
Lại có:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)
Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3
Cho a,b >0 tm 4a^2+b^2+ab=1
Tìm min của P=\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2:\left[\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\right]\)