Question

Bài 1

Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Tìm min \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Bài 2:

Tìm min của \(A=3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Answer 1

Bài 1:

\(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Đẳng thức xảy ra khi a =b=c=1/3

Bài 2:Buồn ngủ rồi, chắc để đó cho anh Lâm.

Answer 2

Câu 2 có cho a; b dương ko? Nếu cho dương thì đỡ phải xét thêm 1 trường hợp, còn ko cho gì thì xét 2 trường hợp hơi dài

Answer 3

Xét chung luôn a; b ko cần dương

ĐKXĐ: \(a;b\ne0\)

\(A=3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2-2\right)-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-6\)

Đặt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x\Rightarrow x^2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x\ge2\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x\le-2\)

\(A=3x^2-8x-6=\left(x+2\right)\left(3x-14\right)+22\)

Do \(x\le-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2\le0\\3x-14< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)\left(3x-14\right)\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge22\)

TH2: \(x\ge2\)

\(A=3x^2-8x-6=\left(x-2\right)\left(3x-2\right)-10\)

Do \(x\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\3x-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(3x-2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge-10\)

So sánh \(-10\) và \(22\Rightarrow A_{min}=-10\) khi \(x=2\) hay \(a=b\)

Nếu a; b dương thỉ chỉ cần TH2