Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trịnh Lê Như Nguyệt

1 ) Cho a , b , c là các số dương thỏa mãn : \(\left(1+\frac{a}{b}\right).\left(1+\frac{b}{c}\right).\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)

2 . Cho a , b , c là 3 số dương thỏa mãn : \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

\(Q=abc\)

Diệu Huyền
26 tháng 2 2020 lúc 16:04

Bài 2:

Ta có: \(\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\)

\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

Ta nhân các BĐT vừa nhận được ta có:

\(\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

Hay: \(abc\le\frac{1}{8}\)

\(\Rightarrow Max_Q=\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
26 tháng 2 2020 lúc 16:30

Bài 1 :

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ac+c^2\right)-8abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+abc+bc^2-8abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(ab^2-2abc+ac^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+a\left(b-c\right)^2=0\)

Do a , b , c dương nen

\(b\left(a-c\right)^2;c\left(a-b\right)^2;a\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+a\left(b-c\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) thay vào P ta được

\(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{a.a.a}=\frac{3a^3}{a^3}=3\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 2 2020 lúc 16:01

\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}.2\sqrt{\frac{b}{c}}.2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow P=\frac{3a^3}{a^3}=3\)

2. \(\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\) ; \(\frac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân vế với vế và rút gọn mẫu ta được:

\(1\ge8abc\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa
Hoàng Thị Ánh Phương
26 tháng 2 2020 lúc 16:38

Bài 2 :

Ta có :

\(\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)

\(=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}};\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+c}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của \(Q\)\(\frac{1}{8}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
tachiao
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
David Backham
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Triều Nguyễn Quốc
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Quang
Xem chi tiết
Thùy Linh
Xem chi tiết
Yoona
Xem chi tiết
Darth Vader
Xem chi tiết