Ngọc Vĩ tui chưa học hình

Goi F la giao diem BH va AC

ta co : goc IAC+goc ACI=90 ( tam giac AIC vuong tai I)

          goc FBC+goc ACI=90 ( tam giac BFC vuong tai F)

--> goc IAC=gocFBC

ma goc IAC=goc CBM ( 2goc nt cung chan cung MC cua (O))

nen FBC=CBM--> BI la tia p.g goc HBM

xet tam giac BHM ta co

BI la duong p.g va BI la duong cao ( AI vuong goc BC tai I)

--> tam giac BHM can tai B 

ma BI la duong cao

nen BI la duong trung tuyen

-> I la trung diem HM

-> HI=IM

CAch nay dung k co Loan?

Kẻ đường kính AD

*) Chứng minh BHCD là hbh ; từ đó suy ra BH = CD

+) Vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD => tam giác ABD vuông tại B => DB vuông góc với AB 

Mà CH vuông góc với AB => CH // BD

+) Tương tự ta có AC vuông góc với DC mà BH vuông góc với AC => DC// BH

=> tứ giác BHCD là hbh => BH = CD   (1)

*) Tam giác AIB vuông tại I => góc BAM + IBA = 90^o

Mặt khác, tam giác ABD vuông tại B => góc  ABD = IBA + CBD = 90^o

=> góc BAM = CBD 

Hơn nữa; góc BAM là góc nội tiếp (O) chắn cung BM; góc CBD là góc nt (O) chắn cung CD

=> dây BM = dây CD  (2)

Từ (1)(2) => BH = BM => tam giác BHM cân tại B có BI là đuơng cao nên đông thời là đường trung tuyến => I là trung điểm của HM 

=> IH = IM

Từng bài 1 thôi bạn!

vẽ trên đt thông cảm!

Do đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là O

Ta có bổ đề: \(OM=AN=NH=\frac{1}{2}AH\)(tự chứng minh)

Vì \(\widehat{BAH}=\widehat{OAC}\)(cùng phụ với \(\widehat{ABC}\)) 

Mà AK là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=> AK là phân giác 

\(\widehat{HAO}\Rightarrow\widehat{NAK}=\widehat{KAO}\)

Theo bổ đề trên ta có tứ giác ANMO là hình bình hành

=> HK//AO

=> \(\widehat{AKN}=\widehat{KAO}=\widehat{NAK}\left(cmt\right)\)

Hay tam giác NAK cân tại N mà N là trung điểm AH

=> AN=NH=NK

=> \(\Delta AHK\)vuông tại K

Câu 1: 

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2(1)

Xét ΔHBC có

E là trung điểm của HB

F là trung điểm của HC

Do đó: EF là đường trung bình

=>EF//BC và EF=BC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//EF và MN=EF

=>MNFE là hình bình hành

SUy ra: VECTO MN=VECTO EF

Gọi M, N lần lượt là chân đường cao hạ từ B,C xuống AC,AB

Ta có \(DH.DA=DB.DC\)(1)

Để chứng minh K là trực tâm tam giác IBC ta chứng minh \(DK.DJ=DB.DC\)hay \(DK.DJ=DH.DA\)

Ta có NC,NA lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của \(\widehat{MND}\)nên

\(\frac{HK}{HD}=\frac{NK}{ND}=\frac{AK}{AH}\)

\(\Rightarrow AK.HD=AD.HK\)

\(\Leftrightarrow HD\left(AD-DK\right)=AD\left(DK-DH\right)\)

\(\Leftrightarrow2.AD.DH=DK\left(DA+DH\right)\)

\(\Leftrightarrow2.AD.DH=2.DK.DJ\)

\(\Rightarrow AD.DH=DK.DJ\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta  có\(DK.DJ=DH.DA\)

=> K là trực tâm của tam giác IBC