Cho f(x) =\(\left(1+3x+2^2\right)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^{^{ }3}+...+a_{30}x^{30}\)
Giá tri của biểu thức E =\(2016a_0-2a_1+4a_2-8a_{3_{ }}+...-536870912a_{29}+1073741824a_{30}\)
Cho f(x)=\(\left(1+3x+2x^2\right)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_{30}x^{30}\)
Tính giá trị của biểu thức E = \(2016a_0-2a_1+4a_2-8a_3+...-536870912a_{29}+1073741824a_{30}\)
Giả sử cho biểu thức :
\(T\left(x\right)=\left(1+x^2\right)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+.....+a_{29}x^{29}+a_{30}x^{30}.\)
Tính giá trị của biểu thức:
\(H=-2a_1+2^2a_2-2^3a_3+2^4a_4-2^5a_5+...+2^{28}a_{28}-2^{29}a_{29}+2^{30}a_{30}\)
Ta có:
\(T\left(-2\right)=a_0-2a_1+2^2a_2-...-2^{29}a_{29}+2^{30}a_{30}=a_0+H=\left(1+4\right)^{15}\)
\(\Leftrightarrow1+H=5^{15}\)
\(\Leftrightarrow H=5^{15}-1\)
Cho đồng nhất thức \(\left(1+x+x^2\right)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+.......+a_{30}x^{30}\)
Đặt \(S=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+........+a_{30}\). Tính giá trị của S
Đặt A(x)=(1+x+x2)15=a0+a1x+a2x2+.......+a30x30
Như vậy A(0)=(1+0+02)15=a0+a10+a202+.......+a30030=a0
Hay a0=(1+0+02)15=1
........LẠi đặt A(1).........Xomg thì tính vậy thôi
Cho đa thức \(f\left(x\right)=\left(x+2\right)^{2017}\), biết rằng sau khi khai triển và thu gọn ta được:
\(f\left(x\right)=a_{2017}x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)
Tính tổng \(S=a_0+a_2+...+a_{2014}+a_{2016}\)
\(f\left(1\right)=a_{2017}+a_{2016}+...+a_3+a_2+a_1+a_0\)
\(f\left(-1\right)=-a_{2017}+a_{2016}+...-a_3+a_2-a_1+a_0\)
\(f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2\left(a_{2016}+a_{2014}+...+a_2+a_0\right)\)
\(S=\frac{f\left(1\right)+f\left(-1\right)}{2}=\frac{3^{2017}+1}{2}\)
Biết rằng \(\left(2+x+2x^3\right)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_{45}x^{45}\)
Tính \(S_1=a_1+a_2+a_3+...+a_{45};S_2=a_0+a_2+a_4+...+a_{44}\)
Biết \(\left(1-3x+3x^2\right)^{2018}\left(1+3x-3x^2\right)^{2019}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{8074}x^{8074}.\). Tính giá trị biểu thức: \(A=a_0+a_1+a_2+...+a_{8074}\)
Giả sử \(\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{10}\right)^{11}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_{110}x^{110}\) với \(a_0,a_1,a_2,...,a_{10}\) là các hệ số.
Tính giá trị của tổng : \(T=C^0_{11}a_{11}-C^1_{11}a_{10}+C^2_{11}a_9-C^3_{11}a_8+...+C^{10}_{11}a_1-C^{11}_{11}a_0\) ?
Xét \(x\ne1\)
\(\left(1+x+...+x^{10}\right)^{11}=a_0+a_1x+...+a_{110}x^{110}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^{11}\left(1+x+...+x^{10}\right)^{11}=\left(x-1\right)^{11}\left(a_1+a_1x+...+a_{110}x^{110}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^{11}-1\right)^{11}=\left(x-1\right)^{11}\left(a_0+a_1x+...+a_{110}x^{110}\right)\)
\(VP=\left(x-1\right)^{11}\left(a_0+a_1x+...\right)=\left(\sum\limits^{11}_{k=0}C_{11}^kx^k\left(-1\right)^{11-k}\right)\left(a_0+a_1x+...\right)\) (1)
Ta thấy tổng các hệ số của \(x^{11}\) trong khai triển (1) là:
\(C_{11}^0\left(-1\right)^{11}.a_{11}+C_{11}^1\left(-1\right)^{10}a_{10}+C_{11}^2\left(-1\right)^9a_9+...+C_{11}^{11}\left(-1\right)^0a_0\)
\(=-C_{11}^0a_{11}+C_{11}^1a_{10}-C_{11}^2a_9+...+C_{11}^{11}a_0=-T\)
\(VT=\sum\limits^{11}_{k=0}C_{11}^k\left(x^{11}\right)^k.\left(-1\right)^{11-k}\)
Hệ số của \(x^{11}\) trong khai triển trên là \(C_{11}^1\left(-1\right)^{10}=C_{11}^1=11\)
Mà \(VT=VP\Rightarrow-T=11\Rightarrow T=-11\)
Viết đa thức \(f\left(x\right)=\left(x^2+2x-2\right)^8\) dưới dạng \(f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{16}x^{16}\). Tính tổng \(S=a_1+a_3+...+a_{15}\)
\(S_0=a_0+a_1+...+a_{16}=f\left(1\right)=1\)
Số hạng tổng quát trong khai triển:
\(\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(x^2+2x\right)^k\left(-2\right)^{8-k}=\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(-2\right)^{8-k}\sum\limits^k_{i=0}C_k^ix^{2i}\left(2x\right)^{k-i}\)
\(=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-2\right)^{8-k}2^{k-i}x^{i+k}\)
Số hạng không chứa x thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le k\le8\\i+k=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow i=k=0\Rightarrow a_0=C_8^0C_0^0\left(-2\right)^82^0=2^8\)
Số hạng chứa \(x^{16}\) thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le k\le8\\i+k=16\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow i=k=8\Rightarrow a_{16}=C_8^8C_8^8\left(-2\right)^0.2^0=1\)
\(\Rightarrow S=S_0-\left(a_0+a_{16}\right)=-2^8\)
Cho biểu thức \(\left(3x^8-2x^6+2x^4-x^2+1\right)^5=a_0+a_1x+a_2x+...+a_{40}x\). Giá trị của tổng \(a_0+a_1+a_2+...+a_{40}=...\)