Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác ABC vuông, đường cao AH ta có:

\(AB^2=BH\cdot BC\\ AC^2=CH\cdot BC\\ \Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{HB}{HC}\)

\(\Rightarrow\frac{HB}{HC}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\)

Tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng:

\(AB^2=BH.BC\)\(\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}\)(1)

\(AC^2=HC.BC\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}\)

Đặt \(\frac{BH}{HC}=\frac{9}{16}=x\Rightarrow\hept{\begin{cases}BH=9x\\HX=16x\end{cases}}\)

\(BH+HC=BC\Leftrightarrow9x+16x=125\)

\(\Leftrightarrow x=5\)

\(\Rightarrow BH=45\left(cm\right);HC=80\left(cm\right)\)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)(đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BD\cdot BA=BH^2\)

\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(CE\cdot CA=CH^2\)

\(\Leftrightarrow EC=\dfrac{HC^2}{AC}\)

Ta có: \(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)