Chứng minh họ đường thẳng y = mx + (2m + 1) (1) luôn đi qua một điểm cố định nào đó.

Giả sử điểm A( x o ;  y o ) là điểm mà họ đường thẳng (1) đi qua với mọi m. Khi đó tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số (1).

Với mọi m, ta có:  y o  = m x o  + (2m + 1) ⇔ ( x o  + 2)m + (1 – y) = 0

Vì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của m nên tất cả các hệ số phải bằng 0.

Suy ra:  x o  + 2 = 0 ⇔  x o  = -2

1 –  y o  = 0 ⇔  y o = 1

Vậy A(-2; 1) là điểm cố định mà họ đường thẳng y = mx + (2m + 1) luôn đi qua với mọi giá trị m.

c) Giả sử đường thẳng  d 1  luôn đi qua một điểm cố định ( x 1 ; y 1  ) với mọi giá trị của m.

⇒  y 1 = m x 1  + 2m - 1 với mọi m

⇔ m( x 1  + 2) - 1 -  y 1 = 0 với mọi m

Vậy điểm cố định mà d 1  luôn đi qua với mọi giá trị của m là (-2; -1).

Gọi điểm cố định là \(M\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow2mx_0+2m+1=y_0\)  \(\left(\forall m\right)\)

\(\Leftrightarrow2m\left(x_0+1\right)=y_0-1\)  \(\left(\forall m\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\y_0-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

  Vậy đường thẳng luôn đi qua \(M\left(-1;1\right)\)

???

Giả sử ( x 0 ; y 0  ) là điểm cố định mà đường thẳng mx + 3 + (3m – 1)y = 0 luôn đi qua.

Ta có:

m x 0  + 3 + (3m - 1)  y 0  = 0 với mọi m

⇔ m x 0  + 3 + 3m y 0  - y 0  = 0 với mọi m

⇔ m( x 0  + 3 y 0 ) + 3 - y 0 = 0 với mọi m

Vậy điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là (-9: 3)