đường tăng à ?

Câu 1:

Lấy $M(x,y)\in (d)$. $M'(x',y')=T_{\overrightarrow{v}}(M)$

\(\left\{\begin{matrix} x'-x=2\\ y'-y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'-2\\ y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ có dạng:

$3(x'-2)-2(y'+1)+1=0$

$\Leftrightarrow 3x'-2y'-7=0$

Câu 2:

$M(x,y)$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(C)$.

Lấy $M'(x',y')$ là 1 điểm thuộc $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua $\overrightarrow{v}$

Khi đó, $M'=T_{\overrightarrow{v}}(M)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x'-x=-3\\ y'-y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'+3\\ y=y'-5\end{matrix}\right.\)

PTĐTr $(C')$ có dạng:

$(x'+3)^2+(y'-5)^2-4(x'+3)+6(y'-5)+5=0$

$\Leftrightarrow x'^2+y'^2+2x'-4y'-3=0$

chịu òi 

gọi M(x,y) là 1 điểm thuộc (C) , M'(x';y') thuộc ảnh của  (C) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vecto u

=> \(\hept{\begin{cases}x'-x=-2\\y'-y=4\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=x'+2\\y=y'-4\end{cases}}\\ \)

thay x,y vào pt đường tròn (C)=> \(\left(x'+2\right)^2+\left(y'-4\right)^2-3\left(x'+2\right)+4\left(y'-4\right)-5=0\)

=> \(x'^2+4x'+4+y'^2-8y'+16-3x'-6+4y'-16-5=0\)

=>\(x'^2+x'+y'^2-4y'-7=0\)=>\(\left(x'+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y'-2\right)^2=\frac{45}{4}\)

(C) có \(\left\{{}\begin{matrix}I\left(2;3\right)\\R=3\end{matrix}\right.\)

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(I\right)=I'\left(x',y'\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x+a=2+\left(-1\right)=1\\y'=y+a=3+2=5\end{matrix}\right.\Rightarrow I'\left(1,5\right)\)

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)=\left(C'\right)\) có \(\left\{{}\begin{matrix}I'\left(1,5\right)\\R=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left(C'\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-5\right)^2=3\)

1.

Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\) biến d thành d' cùng phương với d

\(\Rightarrow\) Phương trình d' có dạng: \(x+y+c=0\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(3;3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Do d' tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d'\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3+3+c\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left|c+6\right|=2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-8\\c=-4\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng d' thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+y-8=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\)

Ứng với đó ta có 2 dạng vecto \(\overrightarrow{v}=\left(a;8-a\right)\) hoặc \(\overrightarrow{v}=\left(a;4-a\right)\)

2.

Phương trình (C) là đường tròn khi và chỉ khi \(m^2-2m>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 0\end{matrix}\right.\)

Khi đó (C) là đường tròn tâm \(A\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{m^2-2m}\)

Pt (C'): \(\left(x-1\right)^2+y^2=2m^2-3m\)

(C') là pt đường tròn khi và chỉ khi \(2m^2-3m>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\frac{3}{2}\\m< 0\end{matrix}\right.\)

Khi đó (C') là đường tròn tâm \(B\left(1;0\right)\) bán kính \(\sqrt{2m^2-3m}\)

Tồn tại một phép tịnh tiến biến (C) thành (C') khi và chỉ khi (C) và (C') có cùng bán kính

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2-2m}=\sqrt{2m^2-3m}\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m=2m^2-3m\)

\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(l\right)\\m=1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn

1.

Do \(\overrightarrow{v}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) nên \(\overrightarrow{v}=\left(a;a\right)\) với a là số thực khác 0

Chọn \(M\left(0;0\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=a+0=a\\y_{M'}=a+0=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(a;a\right)\)

Thay vào pt d' ta được:

\(a+a-4=0\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{v}=\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{2}\)

2.

Gọi \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\)

Gọi \(A\left(0;1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{u}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=a\\y_{A'}=b+1\end{matrix}\right.\)

Thay tọa độ A' vào pt d' ta được: \(a+b+1-5=0\Leftrightarrow a+b=4\)

Ta có:

\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(a=b=2\)

3.

Gọi \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\Rightarrow a^2+b^2=4\) (1)

Gọi \(A\left(-1;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=-1+a\\x_{B'}=-1+b\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt d':

\(2\left(a-1\right)+2\left(b-1\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow2a+2b=5\Rightarrow b=\frac{5-2a}{2}\)

Thế vào (1):

\(a^2+\left(\frac{5-2a}{2}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow8a^2-20a+9=0\)

Pt trên có 2 nghiệm pb nên có 2 vecto thỏa mãn