Ta đặt:  \(S_{BEMF}=S_1;S_{ABC}=S\)

Kẻ \(AK\perp BC\) ; \(AK\) cắt \(EM\left\{H\right\}\)

Ta có: \(S_1=EM.HK\)

\(\Leftrightarrow S=\dfrac{1}{2}BC.AK\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{S_1}{S}=2\dfrac{EM}{BC}.\dfrac{KH}{AK}\)

Đặt \(MA=x;MC=y\) . Theo định lý Thales ta có:

\(\dfrac{EM}{BC}=\dfrac{x}{x+y};\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{x}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng \(\dfrac{ab}{\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{4}\) ta được:

\(\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{2}\) hay \(S_1\le\dfrac{1}{2}S\)

\(\Leftrightarrow MaxS_1=\dfrac{1}{2}S\)

\(\Leftrightarrow\) \(M\) là trung điểm của \(AC\)

a. Do ME // AC nên \(\frac{ME}{AC}=\frac{BM}{BC}\); MF // AB nên \(\frac{MF}{AB}=\frac{MC}{BC}\)

Từ đó suy ra \(\frac{ME}{AC}+\frac{MF}{AB}=\frac{BM+MC}{BC}=1\) không đổi.

b. Gọi \(\frac{ME}{AC}=t\Rightarrow\frac{MF}{AB}=1-t\Rightarrow S_{ABC}=\frac{a^2}{t^2}=\frac{b^2}{\left(1-t\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{t}=\frac{b}{1-t}\Rightarrow a\left(1-t\right)=bt\Rightarrow t=\frac{a}{a+b}\Rightarrow t^2=\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}\Rightarrow S_{ABC}=\frac{a^2}{t^2}=\left(a+b\right)^2.\)

c. \(S_{AEMF}=S_{ABC}-S_{BME}-S_{CMF}=\left(a+b\right)^2-a^2-b^2\)

\(=2ab\le a^2+b^2\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b, tức là M là trung điểm BC.

a: Xét tứ giác AEMF có

AE//MF

AF//ME

Do đó: AEMF là hình bình hành

Hình bình hành AEMF có \(\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

b: Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM là phân giác của \(\widehat{FAE}\)

=>AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=>M là chân đường phân giác kẻ từ A xuống BC

Chưa có ai trả lời câu hỏi này, hãy gửi một câu trả lời để giúp tran cong hoai giải bài toán này.

a: Xét tứ giác AEMF có góc AEM=góc AFM=góc FAE=90 độ

nên AEMF là hình chữ nhật

b: AC=8cm

\(S_{ABC}=\dfrac{6\cdot8}{2}=24\left(cm^2\right)\)

c: Đề sai rồi bạn

AM//NB mà