Cho phương trình: 3x2 + 5x - 20 = 0. Không giải phương trình hãy tính các biểu thức sau:
a/ A=x12 +x22
b/ B=x13 +x23
c/ C=\(\frac{1}{x_{1^2}}+\frac{1}{x_{2^2}}\)
d/ D= / x1 - x2 /
Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình 2x2 -3x -2 = 0 (1). Không giải phương trình (1), hãy tính giá trị các biểu thức sau :
a) A = x12+ x22
b) B =
a) Ta có: \(2x^2-3x-2=0\)
nên a=2; b=-3 và c=-2
Vì \(x_1\) và \(x_2\) là nghiệm của phương trình \(2x^2-3x-2=0\) nên Áp dụng hệ thức Viet, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{3}{2}\\x_1\cdot x_2=-\dfrac{2}{2}=-1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1\cdot x_2=-1\)
nên \(2\cdot x_1\cdot x_2=-2\)
Ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2\cdot x_1\cdot x_2=\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=\dfrac{9}{4}+2=\dfrac{17}{4}\)
Bài 2 : Cho phương trình 3x^{2}-7x+2=0 .Không giải phương trình + 1) Hãy tính tổng và tích các nghiệm số x_{1} , x2 của phương trình trên. 2) Tính giá trị biểu thức C={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}-5x_{1}x_{2}
Bài 2 : Cho phương trình 3x^{2}-7x+2=0 .Không giải phương trình + 1) Hãy tính tổng và tích các nghiệm số x_{1} , x2 của phương trình trên. 2) Tính giá trị biểu thức C={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}-5x_{1}x_{2}
a: \(x_1+x_2=\dfrac{7}{3};x_1x_2=\dfrac{2}{3}\)
b: \(C=x_1^2+x_2^2-5x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-7x_1x_2\)
\(=\left(\dfrac{7}{3}\right)^2-7\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{49}{9}-\dfrac{14}{3}=\dfrac{49}{9}-\dfrac{42}{9}=\dfrac{7}{9}\)
b) Gọi x_{1} x_{2}! là hai nghiệm dương của phương trình : x ^ 2 - 5x + 4 = 0 Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: A = √x_{1}/x_{2} - √x_{2}/x_{1}
\(A^2=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}-2\cdot\sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}\cdot\dfrac{x_2}{x_1}}\)
\(=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}-2\)
\(=\dfrac{\left(-5\right)^2-2\cdot4}{4}-2=\dfrac{25-8-8}{2}=\dfrac{9}{2}\)
=>A=3/căn 2
b) Cho phương trình x ^ 2 - 5x + 6 = 0 có hai nhiệm x_{1} 1 ;x 2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: P = x_{1} ^ 3 + x_{2} ^ 3 - √x_{1} - √x_{2}
\(\Delta=25-24=1>0\)
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)
Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=6\end{matrix}\right.\)
Theo đề có: \(P=x_1^3+x_2^3-\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\left(x_1,x_2\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)
\(\Leftrightarrow P=5^3-3.6.5-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)
\(\Leftrightarrow P=35-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)
Tính: \(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=5+2\sqrt{6}=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) (thõa mãn \(x_1,x_2\ge0\))
Khi đó: \(P=35-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Vậy giá trị của biểu thức P là \(35-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Cho phương trình 2x ^ 2 - 5x - 3 = 0 Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x_{1}, x_{2} . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức A = 2x_{1} - x_{1} ^ 2 + 2x_{2} - x_{2} ^ 2
bạn viết lại bth nhé
\(\Delta=25-4\left(-3\right).2=25+24=49>0\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb
cho phương trình 3x2-5x-6=0 có 2 nghiệm x1,x2
không giải phương trình,hãy tính giá trị biểu thức A=x1/x2 -2/x12
3x2-5x-6=0
(a=3 ; b = -5 ; c=-6)
Vì a=3 trái dấu với c=-6 nên phương trình co1v 2 nghiệm phân biệt
S= x1+x2=\(\dfrac{-b}{a}\)=\(\dfrac{-\left(-5\right)}{3}\)=\(\dfrac{5}{3}\)
P= x1*x2=\(\dfrac{c}{a}\)=\(\dfrac{-6}{3}\)=-2
A=\(\dfrac{x_1}{x_2}\)-\(\dfrac{2}{x_1^2}\)
A=\(\dfrac{x_1^3\cdot x_2}{x_1^2\cdot x_2^2}-\dfrac{x_2^2+2}{x_1^2\cdot x_2^2}\)
A=\(\dfrac{x_1^3\cdot x_2-x_2^2-2}{x_1^2\cdot x_2^2}\)
A=\(\dfrac{x^2_1-x^2_2-2}{x_1\cdot x_2}\)
A=\(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\cdot\left(x_1-x_2\right)-2}{x_1\cdot x_2}\)
A=\(\dfrac{S\cdot\sqrt{S2-4P}-2}{P}\)
(Giải thích thêm x1-x2 = \(\sqrt{S^2-4P}\) vì (x1-x2)^2=x1^2 - 2x1x2 + x2^2=(x1^2+x2^2) -2x1x2 = (S^2-2P)*2P=S^2-4P)
( Công thức x1^2+x2^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 -2x1x2 = (x1+x2)^2 - 2x1x2 = S^2 -2P)
Thế vào ta có :
A=\(\dfrac{\dfrac{5}{3}\cdot\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2-4\cdot\left(-2\right)}-2}{-2}\)
A= \(\dfrac{19-5\sqrt{97}}{18}\)
Vậy giá trị của biểu thức A=\(\dfrac{19-5\sqrt{97}}{18}\)
( chỗ tui không cần kết luận mà bài chỗ bác đẹp y như chỗ tui vậy )
Bài 4: a. Cho phương trình: x ^ 2 - 9x + 16 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt X_{1} X_{2} . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức T = (x_{1} * sqrt(x_{2}) + x_{2} * sqrt(x_{1}))/(x_{1} ^ 2 + x_{2} ^ 2)
\(T=\dfrac{\left(x1\cdot\sqrt{x_2}+x_2\cdot\sqrt{x_1}\right)}{x1^2+x_2^2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x_1\cdot x_2}\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}\)
\(=\dfrac{4\cdot\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}}{9^2-2\cdot16}=\dfrac{4\cdot\sqrt{9+2\cdot4}}{81-32}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{17}}{49}\)
Gọi x1,x2 là nghiệm(nếu có) của phương trình 2x2-5x+1=0. Hãy lập phương trình bậc 2 có nghiệm là \(\dfrac{x_{1}}{x_{2}+1};\dfrac{x_{2}}{x_{1}+1}\)
Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{5}{2}\\x_1x_2=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Giả sử pt bậc 2 cần tìm có các nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{x_1}{x_2+1}\\x_4=\dfrac{x_2}{x_1+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}\\x_3x_4=\left(\dfrac{x_1}{x_2+1}\right)\left(\dfrac{x_2}{x_1+1}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\\x_3x_4=\dfrac{x_1x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\end{matrix}\right.\)
Thay số:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{31}{16}\\x_3x_4=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Viet đảo, \(x_3;x_4\) là nghiệm của:
\(x^2-\dfrac{31}{16}x+\dfrac{1}{8}=0\Leftrightarrow16x^2-31x+2=0\)
Lời giải:
Theo định lý Viet: $x_1+x_2=\frac{5}{2}=2,5; x_1x_2=\frac{1}{2}=0,5$
Khi đó:
\(\frac{x_1}{x_2+1}.\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1x_2}{(x_2+1)(x_1+1)}=\frac{x_1x_2}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}=\frac{0,5}{0,5+2,5+1}=\frac{1}{8}\)
\(\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1^2+x_1+x_2^2+x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}\)
\(=\frac{2,5^2-2.0,5+2,5}{0,5+2,5+1}=\frac{31}{16}\)
Khi đó áp dụng định lý Viet đảo thì $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ là nghiệm của pt:
$x^2-\frac{31}{16}x+\frac{1}{8}=0$