↔

↔

↔→

Nếu x+y+xy=-6→(x+1)(y+1)=-5(vì x,yϵ z nên x+1,y+1ϵ z)

ta có bảng:

x+1                   1                5                -1                  -5

y+1                 -5                -1                5                     1

x                       0                 4                 -2                    -6

y                     -6                  -2                 4                  0

→(x,y)ϵ

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2+4xy\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)=25\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2+2xy+y^2+x^2y^2+2xy.1+1+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)-25=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(1+xy\right)^2-25=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y+1+xy+5\right)\left(x+y+1+xy-5\right)=0\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=-6\\x+y+xy=4\end{matrix}\right.\)

nếu \(x+y+xy=-6\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\) 

                                                                ( vì \(x,y\in Z\) nên \(x+1;y+1\in Z\) )

ta lập bảng :

\(\Rightarrow\) \(x;y\in\left\{\left(0,6\right);\left(4,-2\right);\left(-2,4\right);\left(-6,0\right)\right\}\)

Ta có:

\(2^x\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)\) là tích 5 số tự nhiên nên chia hết cho 5 

Mà 2^x không chia hết cho 5 nên

\(\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)⋮5\)

Mà 11879 không chia hết cho 5 nên y=0

=> \(\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)=11880=9.10.11.12\Rightarrow x=3\)

Vậy pt có nghiệm (x;y)=(3;0)

Ta có \(VP=y\left(y+3\right)\left(y+1\right)\left(y+2\right)\)

\(VP=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)

\(VP=\left(y^2+3y+1\right)^2-1\)

\(VP=t^2-1\) (với \(t=y^2+3y+1\ge0\))

pt đã cho trở thành:

\(x^2=t^2-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(t-x\right)\left(t+x\right)=1\)

Ta xét các TH:

Xét TH \(\left(t,x\right)=\left(1,0\right)\) thì \(y^2+3y+1=1\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-3\end{matrix}\right.\) (thử lại thỏa)

Xét TH \(\left(t,x\right)=\left(-1;0\right)\) thì \(y^2+3y+1=-1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\) (thử lại thỏa).

 Vậy các bộ số nguyên (x; y) thỏa mãn bài toán là \(\left(0;y\right)\) với \(y\in\left\{-1;-2;-3;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+1+2x+2y+2xy=3\left(x^2+y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2-2x-2y-2xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(x^2+y^2-2xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=1\)

chuyển vế ta có:

\(x^2-2xy+2y^2-2x-1=x^2-2x\left(y+1\right)+2y^2-1\)

tinh penta ta có:

\(penta'=\left(y+1\right)^2-\left(2y^2-1\right)=-y^2+2y+2=-\left(y+1\right)^2+3\)

để pt có nghiệm nguyên thi penta' phai lon hon hoac bang 0

co penta' nho hon hoac bang 3

từ 2 điều trên ta có: 0 nho hon hoac bang penta' <3

theo penta' ta có \(x_1=y+1-\sqrt{-\left(y+1\right)^2+3}\)

\(x_2=y+1+\sqrt{-\left(y+1\right)^2+3}\)\

mà x nguyên, y nguyên nên ta có: 

\(\sqrt{-\left(y+1\right)^2+3}thuocZ\) =>\(-\left(y+1\right)^2+3\) la SCP

ma 0 nho hon hoac bang \(-\left(y+1\right)^2+3\) <3

=>\(-\left(y+1\right)^2+3\) =0 hoặc =1

, nếu trường hợp nào cho cả 2 nghiệm x,y nguyên thì chọn

PT\(\Leftrightarrow x^2-2xy+2y^2=2x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2-2x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2\left(y-x\right)+1+y^2-2y+1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)

Do x,y nguyên => Các hạng tử là số CP

Ta có các trường hợp 

+) (y-1)²=0 

=> y= 1 

=> x= 0 hoặc 4

+) (y-1)²=4

=> y= -1 hoặc 3

=> (x;y)= (2;-1);(4;3)

cách của bạn đúng nhưng bạn sai dấu ở dấu <=> thứ 3