Cho a,b,c thuộc Z t/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)C/M:\(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)là số chính phương
Cho a,b,c thuộc Z t/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)C/M:\(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)là số chính phương
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=1\)
Khi đó ta có : \(1+a^2=ab+bc+ca+a^2\)
\(=b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
Tương tự ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}1+b^2=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\\1+c^2=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\end{matrix}\right.\)
Nhân theo vế của 3 đẳng thức ta được :
\(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left(a+b\right)^2\cdot\left(b+c\right)^2\cdot\left(c+a\right)^2\)
\(=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) là số chính phương
Ta có đpcm
1)Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24
2) CMR nếu:
\(\frac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\frac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\frac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\left(1\right)\)
thì \(\frac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\frac{y}{b\left(c^2+a^2-b^2\right)}=\frac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
3) Cho độ dài ba cạnh a,b,c của một tam giác. CMR:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{abc}\ge9\)
Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)
1) Đặt n+1 = k^2
2n + 1 = m^2
Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ
Đặt m = 2t+1
=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2
=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1
=> n = 2t(t+1)
=> n là số chẵn
=> n+1 là số lẻ
=> k lẻ
+) Vì k^2 = n+1
=> n = (k-1)(k+1)
Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp
=> (k+1)(k-1) chia hết cho *
=> n chia hết cho 8
+) k^2 + m^2 = 3a + 2
=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1
=> m^2 - k^2 chia hết cho 3
m^2 - k^2 = a
=> a chia hết cho 3
Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> a chia hết cho 24
Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau
\(CMR\) \(M=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\) là bình phương của 1 số hữu tỉ
Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
\(CMR\)\(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)là bình phương một số hữu tỉ
Cho \(a+b+c=0;x+y+z=0;\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(CM\) \(ax^2+by^2+cz^2=0\)
3/ Ta có:
\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x^2=\left(y+z\right)^2;y^2=\left(z+x\right)^2;z^2=\left(x+y\right)^2\)
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b\)
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
Ta có:
\(ax^2+by^2+cz^2=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)
\(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(c+a\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)
\(=-ax^2-by^2-cz^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\)
1/ Đặt \(a-b=x,b-c=y,c-z=z\)
\(\Rightarrow x+y+z=0\)
Ta có:
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)
2/ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:
\(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)
\(=\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
\(=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
Cho a,b,c là các số thực sao cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
Chứng minh rằng: \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\) là số chính phương
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow ab+bc+ca=1\)
\(\Rightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)\(=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\)
\(=\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{abc}\left(QĐ\right)\Leftrightarrow ac+bc+ab=1\)
\(\Rightarrow1+a^2=bc+ab+ac+a^2=b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
Tương tự: \(1+b^2=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\); \(1+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Nhân vế với vế ta được: \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\)
mà \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\)là số chính phương => đpcm
Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
chứng minh giá trị của biểu thức \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)là số chính phương
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\Rightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{abc}\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Khi đó: \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left[ab+bc+ca+a^2\right]\left[ab+bc+ca+b^2\right]\left[ab+bc+ca+c^2\right]\)
\(=\left[a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]\)
\(=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)là số chính phương.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge1\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Mai Hương - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 2n+1,3n+1 là các số chính phương và 2n+9 là số nguyên tố
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) để \(2^m\cdot5^n+25\) là số chính phương
3. a) cho a,b,c thỏa mãn \(2\left(a^2+ab+b^2\right)=3\left(3-c^2\right)\). Tìm max, min \(P=a+b+c\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\). Cmr: \(6\left(ab+bc+ca\right)+a\left(a-b\right)^2+b\left(b-c\right)^2+c\left(c-a\right)^2\le2\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\). Tìm min \(P=\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\). Tìm max \(P=a\sqrt[3]{b^3+1}+b\sqrt[3]{c^3+1}+c\sqrt[3]{a^3+1}\)
e) \(\left\{{}\begin{matrix}-1\le a,b,c\le1\\0\le x,y,z\le1\end{matrix}\right.\). Max \(P=\left(\frac{1-a}{1-bz}\right)\left(\frac{1-b}{1-cx}\right)\left(\frac{1-c}{1-ay}\right)\)
f) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b>0\\a+2b\le3\end{matrix}\right.\). Max \(P=\frac{1}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\)
g) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=x+y+z+2\end{matrix}\right.\). Max \(P=\frac{1}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+2}}\)
h) \(a,b,c>0\). Tìm min \(P=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}+2\sqrt{a^2+bc}\)
3 g) \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.
Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)
3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)
\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)
\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Phạm Lan Hương, Hưng Nguyễn Lê Việt, Nguyễn Việt Lâm, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Phạm Băng Nguyệt, HISINOMA KINIMADO, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @tth_new
giúp e vs ạ! thanks nhiều!
cho a,b,c khác 0 tm : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
CMR : \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\)
Là một số chính phương
1,cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn
\(\frac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}=3\)
và \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=1\)
Tính
\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\)