b: \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

=>(a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2=0

=>a=b=c

c: \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0

=>a=b=c

a) Ta có:

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\) (1)

Ta có: (a-b)² \(\geq\) 0; (b-c)² \(\geq\) 0; (a-c)² \(\geq\) 0 (2)

(1)(2) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} (a-b)^{2}=0\\ (b-c)^{2}=0\\ (a-c)^{2}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a=b\\ b=c\\ a=c \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) a=b=c

b) Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3a^2+3b^2+3c^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ac-2bc-2ab=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

Ta có: (a-b)² \(\geq\) 0; (b-c)² \(\geq\) 0; (a-c)² \(\geq\) 0 (2)

(1)(2) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} (a-b)^{2}=0\\ (b-c)^{2}=0\\ (a-c)^{2}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a=b\\ b=c\\ a=c \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) a=b=c

c. Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3bc+3ac\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ac=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2bc+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

Ta có: (a-b)² \(\geq\) 0; (b-c)² \(\geq\) 0; (a-c)² \(\geq\) 0 (2)

(1)(2) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} (a-b)^{2}=0\\ (b-c)^{2}=0\\ (a-c)^{2}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a=b\\ b=c\\ a=c \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) a=b=c

Chúc bạn học tốt

Học tại nhà - Toán - Bài 7: CMR: a = b = c nếu có 1 trong các điều kiện sau:1/ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.2/ (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2)3/ (a + b + c)2 = 3 (ab + bc + ca).

Ta có đăng thức <=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=> a=b=c(ĐPCM)
^_^

 Ta có: a²+b²+c²=ab+bc+ca

=>2(a²+b²+c²)=2(ab+bc+ca)

<=>2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca

<=>2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0

<=>a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc=2ca=0

<=>(a^a-2ab+b²)+(b²-2bc+b²)+(a²-2ca+c²)=0

<=>(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0

=>hoặc (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0<=>a-b=0 hoặc b-c=0 hoặc a-c=0<=>a=b hoặc b=c hoặc a=c

=> a=b=c (đpcm)

Dễ mà. bạn học bđt cosi chưa

Nếu rồi thì ta có a^2 + b^2 >= 2ba (1); b^2 +c^2 >=2bc(2) ; c^2+a^2>=2ac(3) tất nhiên (1) , (2) và (3) xảy ra dấu bằng <=> a = b; b = c  và c =a

(1)+(2)+(3) ta có 2a^2+2b^2+2c^2>= 2ab+2bc+2ca => a^2 + b^2+c^2 >= ab + bc +ca. dấu = xảy ra <=> a = b = c

=> đpcm

A) a²+b²+c²+ab+bc+ca>=0 (*)

<=> 2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca>=0

<=> (a²+2ab+b²)+(b²+2bc+c²)+(c²+2ca+a²)>=0

<=> (a+b)²+(b+c)²+(c+a)²>=0

BĐT cuối luôn đúng với mọi a,b,c 

Vậy BĐT (*) đc cm

Phần B cũng tương tự nhé

a) Ta có : a² + b² + c² + ab + bc + ca = (a + b + c)²

Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\forall x\)

Nên : a² + b² + c² + ab + bc + ca \(\ge0\forall x\)

b) hình như sai đề rồi bạn à !

ta áp dụng cô-si la ra 
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+ac+bc 
̣̣(a - b)^2 ≥ 0 => a^2 + b^2 ≥ 2ab (1) 
(b - c)^2 ≥ 0 => b^2 + c^2 ≥ 2bc (2) 
(a - c)^2 ≥ 0 => a^2 + c^2 ≥ 2ac (3) 
cộng (1) (2) (3) theo vế: 
2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab+ac+bc) 
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ac+bc 
dấu = khi : a = b = c

Bạn cm hộ mình cô si la dc k mình chưa học đến

Trả lời hộ mình đi

xem bài bạn Nguyễn Minh Duy nha bạn

Mk có giải rồi

Nguyễn Minh Huy

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{9}=\frac{x-y+z}{5-7+9}=\frac{315}{7}=45\)

  suy ra:   x/5 = 45   =>  x  =  225

               y/7 = 45  =>  y  =  315

               z/9 = 45  =>  z  =  405