Tìm số nguyên dương n lớn nhất để \(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\) là số chính phương
Tìm số nguyên dương n lớn nhất để \(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)là số chính phương
\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)
Với \(n\ge27\):
\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)
\(A\)là số chính phương suy ra \(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.
\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)
Với \(n=4004\)thì:
\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương.
Với \(n>4004\)thì:
\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)
\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)
Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương.
Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).
tìm số nguyên dương n lớn nhất để
P=427+42016+4n là số chính phương
Tìm số nguyên dương n lớn nhất để a = 2^30 + 2^2020 + 4^n là số chính phương
a=230+22020+4n=415+41010+4n=415(1+4995+4n-15) mà 415 là số cp suy ra (1+4995+4n-15)là số cp
ta có: 1+4995+4n-15=22n-30+2.21989+1=(22n-30+1)2
đề 1+4995+4n-15=(2n-15)2+2.21989+1=(2n-15+1)2 là số cp thì n-15=1989 suy ra n=1974
nếu sai thì sorry bạn nha
1. Chứng minh rằng nếu các số nguyên dương x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + 2x(y+1) − 2y là số chính phương thì x = y.
2. Tìm các số nguyên dương n để n4 + 2n3 + 3n3 + 3n + 7 là số chính phương.
3. Tìm các số tự nhiên m,n thỏa mãn 2m + 3 = n2.
4. Tìm các số tự nhiên n để n2 + n + 2 là tích của k số nguyên dương liên tiếp với k ≥ 2.
5. Tìm các số tự nhiên n để 36n − 6 là tích của k số nguyên dương liên tiếp với k ≥ 2.
6. Tìm số tự nhiên n lớn nhất để 427 +4500 +4n là số chính phương.
7. Tìm các số nguyên tố p để 2p - 1 - 1 / p là số chính phương
Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A = 2\(^{30}\)+ 2\(^{2020}\) + 4\(^n\) là số chính phương.
+) Xét n≥27n≥27
Ta có : A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)
Dễ thấy 427=22⋅27=(227)2427=22⋅27=(227)2 là số chính phương
Do đó để A là số chính phương thì 1+41989+4n−271+41989+4n−27 là số chính phương
Đặt B2=1+41989+4n−27B2=1+41989+4n−27 và n−27=kn−27=k
Khi đó : B2=1+41989+4kB2=1+41989+4k
⇔B2−(2k)2=1+41989⇔B2−(2k)2=1+41989
⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989
Ta có : B+2k≤1+41989B+2k≤1+41989 và B−2k≥1B−2k≥1
⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k
Hay B−2k+41989≥B+2kB−2k+41989≥B+2k
⇔2⋅2k≤41989⇔2⋅2k≤41989
⇔2k+1≤23978⇔2k+1≤23978
⇔k+1≤3978⇔k+1≤3978
⇔k≤3977⇔k≤3977
Để n lớn nhất thì k lớn nhất,nên:
Nếu k=3977k=3977 ta có B2=1+41989+43977B2=1+41989+43977
⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1
⇔B2=(23977+1)2⇔B2=(23977+1)2( đúng )
Vậy k=3977⇒n=3977+27=4004k=3977⇒n=3977+27=4004( thỏa )
+) Xét n≤27n≤27 nên hiển nhiên n≤4004n≤4004
Suy ra n lớn nhất để A là số chính phương thì n=4004
Nếu thấy đúng thì k cho mình nha
\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)
Với \(n\ge27\):
\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)
\(A\)là số chính phương suy ra \(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.
\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)
Với \(n=4004\)thì:
\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương.
Với \(n>4004\)thì:
\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)
\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)
\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)
Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương.
Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).
Bài 3: Tìm số nguyên n để C=4n^2+n+4 là số chính phương.
Bài 4: Tìm số nguyên n để A=n^2+6n+2 là số chính phương.
Bài 5: Tìm số nguyên n để B=n^2+n+23 là số chính phương.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để M=1!+2!+3!+....+n! là số chính phương.
Bài 7: Tìm số nguyên n để N=n^2022+1 là số chính phương.
tìm x thuộc N x lớn nhất sao cho số 4^27+4^100+4^x là số chính phương
Nếu x≥27 thì T=427(1+473+4a-27)
Do 427 chính phương nên T chính phương khi 1+473+4a-27 chính phương.
Đặt 1+473+4a-27=n2
Có n2> 4a-27 = (2a-27 )2 nên n2≥(2a-27+1)2
Suy ra 1+473+4a-27 ≥ (2a-27+1)2 = 4a-27+2a-26 +1
=> 473 ≥ 2 a-26
hay 73.2 ≥ a−26
vậy a ≤ 172
Thay a =172 có T = 427.(1+2145)2 là số chính phương.
Vậy a lớn nhất bằng 172
Tìm n nguyên dương để A=n^4 +n^3 + n^2 + n +1 là số chính phương