+) Xét \(n\ge27\)
Ta có : \(A=4^{27}+4^{2016}+4^n=4^{27}\cdot\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)
Dễ thấy \(4^{27}=2^{2\cdot27}=\left(2^{27}\right)^2\) là số chính phương
Do đó để A là số chính phương thì \(1+4^{1989}+4^{n-27}\) là số chính phương
Đặt \(B^2=1+4^{1989}+4^{n-27}\) và \(n-27=k\)
Khi đó : \(B^2=1+4^{1989}+4^k\)
\(\Leftrightarrow B^2-\left(2^k\right)^2=1+4^{1989}\)
\(\Leftrightarrow\left(B-2^k\right)\left(B+2^k\right)=1+4^{1989}\)
Ta có : \(B+2^k\le1+4^{1989}\) và \(B-2^k\ge1\)
\(\Rightarrow B-2^k+4^{1989}\ge1+4^{1989}\ge B+2^k\)
Hay \(B-2^k+4^{1989}\ge B+2^k\)
\(\Leftrightarrow2\cdot2^k\le4^{1989}\)
\(\Leftrightarrow2^{k+1}\le2^{3978}\)
\(\Leftrightarrow k+1\le3978\)
\(\Leftrightarrow k\le3977\)
Để n lớn nhất thì k lớn nhất, do đó:
Giả sử \(k=3977\) ta có \(B^2=1+4^{1989}+4^{3977}\)
\(\Leftrightarrow B^2=\left(2^{3977}\right)^2+2\cdot2^{3977}+1\)
\(\Leftrightarrow B^2=\left(2^{3977}+1\right)^2\)( đúng )
Vì vậy \(k=3977\Rightarrow n=3977+27=4004\)( thỏa )
+) Xét \(n\le27\) nên hiển nhiên \(n\le4004\)
Vậy n lớn nhất để A là số chính phương thì \(n=4004\)
