Vì \(AB\perp MN\) tại H nên H là trung điểm AB (dây vuông góc đường kính)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB=6\left(cm\right)\) 

MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên \(\Delta MAB\) cân tại M

Do đó \(MA=MB=10\left(cm\right)\)

Ta có \(\widehat{MAN}=90^0\)(góc nt chắn nửa đường tròn) nên tam giác MAN vuông tại A

Áp dụng HTL tam giác 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AM^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{100}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{4}{225}\\ \Rightarrow4AN^2=225\Rightarrow AN^2=\dfrac{225}{4}\Rightarrow AN=\dfrac{15}{2} =7,5\left(cm\right)\)

\(MN=\sqrt{AN^2+AM^2}=\sqrt{10^2+7,5^2}=12,5\left(cm\right)\)

Vậy đường kính đường tròn \(\left(O\right)\) dài 12,5 cm

NH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên \(\Delta NAB\) cân tại N

OK vuông góc với MB nên K cũng là trung điểm MB

\(\Rightarrow AN=NB=7,5\left(cm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}NO=OM\left(=R\right)\\MK=KB\left(cm.trên\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow OK\) là đtb tam giác MBN

\(\Rightarrow OK=\dfrac{1}{2}NB=\dfrac{1}{2}\cdot7,5=3,75\left(cm\right)\)

a) \(\Delta ABM\) nội tiếp đường tròn (O) có bán kính AB

=> \(\Delta ABM\) vuông tại M

b) Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M, đường cao MH

=> \(AB^2+BH^2=25\)

=> AB =5

Ta có: MH .BC = MA.MB

=> MH =2,4

c) \(\Delta AMC\) vuông tại M, MN là tiếp tuyến 

=> MN = NA= NC =AC/2

Xét \(\Delta OAN\) và \(\Delta OMN\) có:

OA =OH =R

ON chung

NA  = NM

=> \(\Delta OAN=\Delta OMN\)

=> \(\widehat{OAN}=\widehat{OMN}=90^o\)

=> MN \(\perp\) OM

mà M thuộc (O)

=> MN là tiếp tuyến của (O)

d) Ta có: ON là tia phân giác \(\widehat{AOM}\)

OD là phân giác góc BOM

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\) (kề bù)

=> ON\(\perp\)OD

Xét \(\Delta NOD\) vuông tại O, đường cao OM

\(OM^2=NA.DB=>R^2=NA.DB\) (đpcm)

MC=4cm; MD=12 cm=> CD=16 cm

Kẻ OH vuông góc với CD thì CH=1/2CD =8cm

do đó: MH=CH-CM=8-4=4(cm)

Tam giác vuông MOH có góc OMH = 30^o

nên OH=1/2 OM hay OM=2OH

Theo pytago ta có: MH²=OM²-OH²=4OH²-OH²=3OH² 

Do đó 3OH²=16

\(\Rightarrow OH=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)(cm)

đề bài : Cho tam giác MAB vuông tại H ( MB<MA), kẻ MH vuông góc với AB( H thuộc AB). Đường tròn tâm O đường kính MH cắt MA và MB lần lượt tại E và F( E,F khác M). a) Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp b) Đường thẳng EF cắt đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác MAB tại P và Q(P thuộc cung MB). Chứng minh tam giác MPQ cân c) Gọi D là giao điểm thứ 2 của (O) với (I). Đường thẳng EF cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh ba điểm M,D,K thẳng hàng

đúng hog

a)Ta có: góc MFH=90(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

          góc MEH=90( ║ )

Xét tứ giác MEHF,ta có:

góc MFH=góc FME=góc MEH=90

⇒MEHF là hcn (tứ giác có 3 góc vuông)

b) Ta có góc MFE=góc MHE (cùng chắn cung ME)

        mà góc MAB =góc MHE (cùng phụ góc HMA)

Suy ra: góc MBA=góc MFE

⇒tứ giác AEFB nội tiếp ( tứ giác có góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối của đỉnh đó)

a) Xét (O) có 

ΔCAB nội tiếp đường tròn(C,A,B∈(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔCAB vuông tại C(Định lí)

⇔\(\widehat{ACB}=90^0\)

hay \(\widehat{KCB}=90^0\)

Xét tứ giác BHKC có

\(\widehat{BHK}\) và \(\widehat{KCB}\) là hai góc đối

\(\widehat{BHK}+\widehat{KCB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: BHKC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a: AM=9cm

AH=7,2cm

a: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI vuông góc AB

I là trung điểm của AB

=>IA=IB=16/2=8cm

ΔOIA vuông tại I

=>OA^2=OI^2+IA^2

=>OI^2=10^2-8^2=36

=>OI=6(cm)

b: OM=OI+IM

=>6+IM=10

=>IM=4cm

ΔMIA vuông tại I

=>MI^2+IA^2=MA^2

=>\(MA=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\left(cm\right)\)