Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M và cạnh CD lấy điểm N sao cho góc MBN = 45°. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BM, BN với AC. a/ Chứng minh: Tứ giác BENC nội tiếp, từ đó suy ra NE vuông góc với BM b/ Gọi I là giao điểm của NE và MF. Chứng minh: BI vuông góc với MN. c/ Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác MDN lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo a.
a.
DO ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{ACD}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{EBN}\)
Mà \(\widehat{ACD}\) và \(\widehat{EBN}\) cùng chắn EN
\(\Rightarrow\) Tứ giác BENC nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BEN}+\widehat{BCN}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BEN}=180^0-\widehat{BCN}=180^0-90^0=90^0\)
\(\Rightarrow NE\perp BM\) tại E
b.
Tương tự ta có tứ giác ABFM nội tiếp (\(\widehat{MAF}=\widehat{MBF}=45^0\) cùng chắn MF)
\(\Rightarrow\widehat{BFM}+\widehat{BAM}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BFM}=90^0\Rightarrow MF\perp BN\)
\(\Rightarrow I\) là trực tâm của tam giác BMN
\(\Rightarrow BI\perp MN\)
c.
Gọi H là giao điểm BI và MN
Do E và F cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông
\(\Rightarrow\) Tứ giác EFMN nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{EMN}+\widehat{EFN}=180^0\)
Mà \(\widehat{EFN}+\widehat{EFB}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{EFB}\)
Lại có tứ giác ABFM nội tiếp (A và F cùng nhìn BM dưới 1 góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{EFB}=\widehat{AMB}\) (cùng chắn AB)
\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{AMB}\)
\(\Rightarrow\Delta_VAMB=\Delta_VHMB\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow AM=HM\)
Đồng thời suy ra \(AB=BH\Rightarrow BH=BC\) (do AB=BC)
Theo Pitago: \(\left\{{}\begin{matrix}HN=\sqrt{BN^2-BH^2}\\CN=\sqrt{BN^2-BC^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CN=HN\)
\(\Rightarrow AM+CN=MH+NH=MN\)
\(\Rightarrow MD+DN+MN=MD+DN+AM+CN=AD+CD=2a\)
Pitago: \(MN^2=DM^2+DN^2\ge\dfrac{1}{2}\left(DM+DN\right)^2\Rightarrow MN\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)
\(\Rightarrow2a-\left(DM+DN\right)\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(DM+DN\right)\)
\(\Rightarrow2a\ge\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\left(DM+DN\right)\ge\left(2+\sqrt{2}\right).\sqrt{DM.DN}\)
\(\Rightarrow DM.DN\le\left(6-4\sqrt{2}\right)a^2\)
\(\Rightarrow S_{MDN}=\dfrac{1}{2}DM.DN\le\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(DM=DN=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)a\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh
AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho góc MBN =45 độ . BM và BN cắt AC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh các tứ giác BENC và BFMA nội tiếp
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Trên hai cạnh $AD$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{MBN}={45}^\circ$. $BM$ và $BN$ cắt $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $F$.
a) Chứng minh $BNNC$ và $BFMA$ là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $MEFN$ là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi $H$ là giao điểm của $MF$ và $NE$, $I$ là giao điểm của $BH$ và $MN$. Tính độ dài đoạn $BI$ theo a.
Vì: FBM=FAM=45 độ nên BFMA là tứ giác nội tiếp
tương tự có đpcm
b, ta có:
MFN=DAB=90
NEM=BCD=90
=> nội tiếp
c, theo câu b ta có:
MNB=BEC=BNC nên: NB là phân giác góc INC
thấy ngay H là trực tâm tam giác BMN nên: BI vuông góc MN
do đó áp dụng tính chất đường phân giác ta được BI=BC=a.
Chứng minh góc EBN = góc ECN = 450
=> Tứ giác BENC nội tiếp (đpcm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho góc MBN = 45 độ. MB và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F
a, C/m các tứ giác BENC và BFMA nội tiếp được trong một đường tròn
b, C/tỏ MEFN cũng là tứ giác nội tiếp
c, Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm BH và MN. Tính độ dài đoạn BI theo a
Cho hình vuông cạnh a. Trên các cạnh AD và CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MBN = 450. BM và BN cắt AC theo thứ tự ở E và F.
a) Chứng tỏ M, E, F, N cùng thuộc 1 đường tròn
b) MF, NE cắt nhau tại H; BH cắt MN tại I. Tính độ dài BI theo a.
c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
p/s: các bn giải giúp mk nha, ko cần vẽ hình đâu!!!
cho hình vuông ABCD có độ dài là a lấy M và N trên cạnh AC, DC sao cho góc MBN bằng 45 độ , BM,BN cắt AC tại E và F
a, chứng minh 3 tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp
$M\in AC$ thì $BM$ cắt $AC$ tại $M$ luôn rồi bạn chứ sao là điểm E được?
Bạn xem lại đề.
cho hình vuông ABCD có độ dài là a lấy M và N trên cạnh AC, DC sao cho góc MBN bằng 45 độ , BM,BN cắt AC tại E và F
a, chứng minh 3 tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 cm . Chứng minh rằng : 4 đỉnh của hình vuông ABCD cùng nằm trên 1 đường tròn . Hãy tính bán kính đường tròn đó
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ đường tròn tâm O , bán kính BC , nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E
a)CMR: CD vuông góc với AB , BE vuông góc với AC
b) gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK vuông góc BC
Bài 3:Cho hình thang ABCD , AB//CD, AB<CD , có góc C=góc D=60 độ , CD=2AD . Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn. Tính diện tích đường tròn đó biết CD=4cm
Bài 4:Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của DE , EB, BC, CD. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn
@ Trần Ngọc Huyền @ Em lần sau nhớ chia bài ra đăng nhiều lần nhé! .
Đồng ý với cô Nguyễn Thị Linh Chi
Đăng nhiều thế mới nhìn đã choáng
Cho tam giác ABC có góc A=90 độ và góc C=45 độ. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE. Các đường vuông góc với CD vẽ từ A và E lần lượt cắt cạnh BC ở G và H. Chứng minh rằng: BG=GH.
