Giải:

Ta có \(BC=BH+HC=9+16=25\)

Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A có AM là trung tuyến \(\Rightarrow AM=MB=MC=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}\)

Ta có \(HM=MB-BH=\frac{25}{2}-9=\frac{7}{2}\)

\(sin\widehat{HAM}=\frac{HM}{MA}=\frac{7}{2}:\frac{25}{2}=\frac{7}{25}\)

\(cos\widehat{HAM}=\frac{AH}{AM}=12:\frac{25}{2}=\frac{24}{25}\)

\(tan\widehat{HAM}=\frac{HM}{HA}=\frac{7}{2}:12=\frac{7}{24}\)

\(cot\widehat{HAM}=\frac{HA}{HM}=\frac{24}{7}\)

tam giác ABC vuông tại A có
* BC²=AB²+AC²
  BC²=9²+12²=225
  BC=15cm
* AH.BC=AB.AC
  AH.15=9.12
AH.15=108
  AH=7,2cm
\(sinB=\dfrac{4}{5};cosB=\dfrac{3}{5};tanB=\dfrac{4}{3};cotanb=\dfrac{3}{4}\)
\(=>sinC=\dfrac{3}{5};cosC=\dfrac{4}{5};tanC=\dfrac{3}{4};cotanC=\dfrac{4}{3}\)

b)
tam giác ABC vuông tại A có
AC.AK=AH²
HB.HC=AH²
=>AC.AK=HB.HC
\(=>\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{HB}{AK}\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=21\\AC^2=28\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{21}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{B}=\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)

\(\cos\widehat{B}=\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)

\(\tan\widehat{B}=\cot\widehat{C}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\cot\widehat{B}=\tan\widehat{C}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{21}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

áp dụng định lý py-ta-cho cho  tam giác AHC:

\(\Rightarrow HC=\sqrt{AC^2-AH^2}\) 

\(\Leftrightarrow HC=\sqrt{20^2-15^2}\)

\(\Leftrightarrow HC=5\sqrt{7}\)

áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho tam giác vuông ta có:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow15^2=HB\cdot5\sqrt{7}\)

\(\Leftrightarrow HB=\frac{45\sqrt{7}}{7}\)

ta có \(AH^2=BH\cdot BC\)

\(AH^2=\frac{45\sqrt{7}}{7}\cdot\left(\frac{45\sqrt{7}}{7}+5\sqrt{7}\right)\)

\(\Leftrightarrow AH=\frac{3600}{7}\)

b)  \(\sin HAC=\frac{HC}{AC}\)

\(\cos HAC=\frac{AH}{AC}\)

\(\tan HAC=\frac{HC}{AH}\)

\(\cot HAC=\frac{AH}{HC}\)

ỦNG HỘ MINK NHA ^-^

a/ tam giác AHC vuông tại H=> \(AC^2=AH^2+HC^2\)

=>\(HC^2=AC^2-AH^2suyraHC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{20^2-15^2}=5\sqrt{7}cm\)

ta có \(AH^2=BH.CHsuyraBH=\frac{AH^2}{CH}=\frac{15^2}{5\sqrt{7}}=\frac{45\sqrt{7}}{7}cm\)

ta có \(AB^2=BH.BCsuyraAB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{\frac{45\sqrt{7}}{7}.\frac{80\sqrt{7}}{7}}=\frac{60\sqrt{7}}{7}cm\)

b/ ta có \(sinHAC=\frac{HC}{AC}=\frac{5\sqrt{7}}{20}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)

\(cosHAC=\frac{AH}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\)

\(tanHAC=\frac{HC}{AH}=\frac{5\sqrt{7}}{15}=\frac{\sqrt{7}}{3}\)

\(cotHAC=\frac{1}{tan}=\frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}\)