\(y=f\left(x\right)=21x-12\sqrt{3}x-m\)

\(=\left(21-12\sqrt{3}\right)x-m\)

vì \(21-12\sqrt{3}>0\)

nên hàm số luôn đồng biến với mọi x thuộc R 

ta có hàm số y = f(x) = 3x² + 5

vì x² \(\ge\)0 \(\forall\)x \(\Rightarrow\)3x² + 5 \(\ge\)5 hay y \(\ge\)5

Vậy với mọi giá trị của x thì hàm số đã cho luôn nhận giá trị dương

Vì x²>0 ( với mọi x )  nên 3x²+5 > 0

Vậy f(x) = 3x² + 5 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị x ( đpcm ).

  XONG RỒI ĐÓ...

Thanks các bạn

Gia su \(x_1< x_2\)

\(\Rightarrow x_1-x_2< 0\left(1\right)\)

Ta co:

\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(3m^2-7m+5\right)x_1-2011-\left(3m^2-7m+5\right)x_2+2011=\left(x_1-x_2\right)\left(3m^2-7m+5\right)\)Vi la chung minh dong bien nen xet

\(3m^2-7m+5>0\)

Dat \(g\left(m\right)=3m^2-7m+5\)

Ta lai co:

\(\Delta=\left(-7\right)^2-4.3.5=-11< 0\)

Theo dinh li dau tam thuc bac hai thi \(g\left(m\right)\)cung dau voi he so 3

\(\Rightarrow3m^2-7m+5>0\left(2\right)\left(\forall m\right)\)

Tu \(\left(1\right)\)va \(\left(2\right)\)suy ra;

\(\left(x_1-x_2\right)\left(3m^2-7m+5\right)< 0\)

Ma \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(3m^2-7m+5\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

Vay ham so \(y=f\left(x\right)=\left(3m^2-7m+5\right)x-2011\)dong bien voi moi m

@MaiLink thanh you bạn nha =)

Ta có tập xác định của hàm số : \(D=\text{[}0;+\infty\text{)}\)

Gọi \(x_1,x_2\) là các giá trị thuộc tập xác định của hàm số và \(0\le x_1< x_2\)

\(\Rightarrow x_1-x_2< 0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)< 0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}< 0\\\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0\end{cases}}\)

Xét : \(g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)=\left(3\sqrt{x_1}-2\right)-\left(3\sqrt{x_2}-2\right)=3\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)< 0\)

\(\Rightarrow g\left(x_1\right)< g\left(x_2\right)\)

Vậy ta có \(\hept{\begin{cases}0\le x_1< x_2\\g\left(x_1\right)< g\left(x_2\right)\end{cases}}\) => Hàm số đồng biến với mọi \(x\ge0\)(đpcm)

a) \(y=f\left(x\right)=3\left(x^2+\frac{2}{3}\right)\)

\(f\left(-x\right)=3\left[\left(-x\right)^2+\frac{2}{3}\right]=f\left(x\right)^{\left(đpcm\right)}\)

b) Đề sai,thay x = 3 vào là thấy.

b (đè sai

\(y'=x^2-2\left(m-2\right)x+m^2-3m+2\)

a. Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(y'\ge0\) ; \(\forall x>3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m-2\right)x+m^2-3m+2\ge0\) ; \(\forall x>3\)

Ta có: \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-3m+2\right)=-m+2\)

TH1: \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m\ge2\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1< x_2\le2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m^2-3m+2-4\left(m-2\right)+4\ge0\\2\left(m-2\right)< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m^2-7m+4\ge0\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 2\)

Kết hợp lại ta được hàm đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\) với mọi m

b.

Hàm số đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(y'\ge0\) ; \(\forall x< 0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m-2\right)x+m^2-3m+2\ge0\) ; \(\forall x< 0\)

TH1: \(\Delta'=-m+2\le0\Leftrightarrow m\ge2\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\0\le x_1< x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\x_1+x_2=2\left(m-2\right)>0\\x_1x_2=m^2-3m+2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Kết hợp lại ta được: \(m\ge2\)

c.

Hàm số nghịch biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(f\left(x\right)=x^2-2\left(m-2\right)x+m^2-4m+3\le0\) ; \(\forall x\in\left(-2;3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1\le-2< 3\le x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\f\left(-2\right)\le0\\f\left(3\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\4+4\left(m-2\right)+m^2-4m+3\le0\\9-6\left(m-2\right)+m^2-4m+3\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m^2\le1\\m^2-10m+24\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

Với mọi \(x\in R\) , ta có \(3x^2\ge0\) suy ra \(3x^2+5>5\). Vì vậy với mọi giá trị x thì hàm số đã cho nhận giá trị dương.