Sửa đề \(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\le6\)

\(\sqrt{a^2+3b}=\sqrt{a^2+\left(a+b+c\right)b}=\sqrt{a^2+ab+b^2+bc}\\ =\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{a+b+a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}\)

Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b^2+3c}\le\dfrac{a+2b+c}{2}\\\sqrt{c^2+3a}\le\dfrac{a+b+2c}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}{2}\\ \Leftrightarrow VT\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=6\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Có \(\sqrt{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\le\frac{3a+b+a+3b}{2}=2\left(a+b\right)\)

Mà 4ab=\(\left(2\sqrt{ab}\right)^2=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(a+b\right)\right]^2=\left[1-\left(a+b\right)\right]^2\)

Do đó nếu đặt a+b=t. Khi đó a+b \(\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

hay \(t\ge\frac{1}{2}\)

Cần chứng minh: \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge\frac{1}{2}\sqrt{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\)

\(\Leftrightarrow3t^2-t+\left(1-t\right)^2\ge\frac{1}{2}\cdot2t\)

\(\Leftrightarrow4t^2-4t+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t-1\right)^2\ge0\)luôn đúng với mọi t \(\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2t-1=0\\3a+b=3b+a\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{1}{2}\\a=b\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{4}}\)

Để chứng minh rằng √(a-b) và √(3a+3b+1) là các số chính phương, ta sẽ điều chỉnh phương trình ban đầu để tìm mối liên hệ giữa các biểu thức này. Phương trình ban đầu: 2^(2+a) = 3^(2+b) Ta có thể viết lại phương trình theo dạng: (2^2)^((1/2)+a/2) = (3^2)^((1/2)+b/2) Simplifying the exponents, we get: 4^(1/2)*4^(a/2) = 9^(1/2)*9^(b/2) Taking square roots of both sides, we have: √4*√(4^a) = √9*√(9^b) Simplifying further, we obtain: 22*(√(4^a)) = 32*(√(9^b)) Since (√x)^y is equal to x^(y/), we can rewrite the equation as follows: 22*(4^a)/ = 32*(9^b)/ Now let's examine the expressions inside the square roots: √(a-b) can be written as (√((22*(4^a))/ - (32*(9^b))/)) Similarly, √(3*a + 3*b + ) can be written as (√((22*(4^a))/ + (32*(9^b))/)) We can see that both expressions are in the form of a difference and sum of two squares. Therefore, it follows that both √(a-b) and √(3*a + 3*b + ) are perfect squares.

Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Tìm 2 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng
a) 3306 ; b) 7656 ; c) 1806 ; d) 5402