Cho \(S_n\) là tập các phép thế bậc n. Chứng minh rằng với f thuộc \(S_n\) thì
\(F:S_n\rightarrow S_n\\ g\rightarrow fg\)
là một song ánh
Cho \(S_n=\frac{1}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n}}\)Chứng minh rằng: \(S_1+S_2+...+S_n< 2\)
\(\frac{1}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).\frac{2}{\sqrt{n}}\)\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
=>\(S_1+...+S_n< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
Cho tổng \(S_n=1+2+3+...+n\)
Chứng minh \(S_n+S_{n+1}\)là 1 số chính phương
Cho \(S_n=\frac{1}{n^2\left(n+2\right)\sqrt{n+1}}\)Chứng minh rằng: \(S_1+S_2+...+S_n< \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Cho dãy số \((u_n) \) thỏa mãn \(S_n=u_1+u_2+...+u_n=2^n-1\). Chứng minh rằng: dãy số \((u_n) \) là cấp số nhân.
chứng minh \(S_n-2=\left(\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right)^2\) .Tìm tất cả các số n để \(S_n-2\)là số chính phương
Chứng minh \(S_n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n\) là một số nguyên với mọi \(n\in N^{\cdot}\)
Cho \(x_1;x_2;x_3\) là 3 nghiệm của phương trình \(x^3-4x^2+2x+4=0\) thỏa mãn:
\(S_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n\) CMR: \(S_n\) là 1 số nguyên
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)
Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên
\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)
\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)
Tìm tất cả các số hữu tỉ a, b sao cho \(x=1+\sqrt{3}\) là nghiệm của phương trình:
\(3x^3+dx^2+bx+c=0\) .Gọi \(x_1,x_2,x_3\) là nghiệm của phương trình \(S_n=x_1^n+x^n_2+x_3^n\) . Chứng minh rằng: \(S_n\in\) Z
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
a) So sánh \(q.{S_n}\) và \(\left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}\).
b) So sánh \({u_1} + q.{S_n}\) và \({S_n} + {u_1}.{q^n}\).
a) Ta có:
\(q.{S_n} = q.\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = {u_1}.q + {u_2}.q + ... + {u_n}.q = \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}\)
b) Ta có:
\({u_1} + q.{S_n} = {u_1} + \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = {S_n} + {u_1}.{q^n}\)