cái chỗ math processing error kia là \(3\left(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right)+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\ge\dfrac{985}{108}\)

 Bài 1: Bài này số nhỏ nên chỉ cần chặn miền giá trị của \(x\) rồi xét các trường hợp thôi nhé. Ta thấy \(3^x< 35\Leftrightarrow x\le3\). Nếu \(x=0\) thì \(VT=2\), vô lí. Nếu \(x=1\) thì \(VT=5\), cũng vô lí. Nếu \(x=2\) thì \(VT=13\), vẫn vô lí. Nếu \(x=3\) thì \(VT=35\), thỏa mãn. Vậy, \(x=3\).

 Bài 2: Nếu \(x=0\) thì pt đã cho trở thành \(0!+y!=y!\Leftrightarrow0=1\), vô lí,

Nếu \(x=y\) thì pt trở thành \(2x!=\left(2x\right)!\) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x+2\right)...\left(2x\right)=2\) \(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Nếu \(x\ne y\) thì không mất tính tổng quát, giả sử \(1< y< x\) thì \(x!+y!< 2x!\le\left(x+1\right)x!=\left(x+1\right)!< \left(x+y\right)!\) nên pt đã cho không có nghiệm trong trường hợp này.

Như vậy, \(x=y=1\)

 Bài 3: Bổ sung đề là pt không có nghiệm nguyên dương nhé, chứ nếu nghiệm nguyên thì rõ ràng \(\left(x,y\right)=\left(0,19\right)\) là một nghiệm cũa pt đã cho rồi.

Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên dương \(\left(x,y\right)\)

Khi đó \(x,y< 19\). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử \(1< y\le x< 19\). Khi ấy \(x^{17}+y^{17}=19^{17}\ge\left(x+1\right)^{17}=x^{17}+17x^{16}+...>x^{17}+17x^{16}\), suy ra \(y^{17}>17x^{16}\ge17y^{16}\) \(\Rightarrow y>17\). Từ đó, ta thu được \(17< y\le x< 19\) nên \(x=y=18\). Thử lại thấy không thỏa mãn. 

Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên dương.

Chị độc giải sau khi em biết làm thôi à.

\(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0,\left(x-1\right)^2\ge0,\left(y+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\left(x+y\right)^{2018}+\left(x-2\right)^{2019}+\left(y+1\right)^{2020}=\left(1-1\right)^{2018}+\left(1-2\right)^{2019}+\left(-1+1\right)^{2020}=-1\)

Xét x, y, z cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì ta có:

\(\left(x-y\right)^3\)chẵn; \(3\left(y-z\right)^2\)chẵn; \(5|x-z|\) chẵn

\(\Rightarrow VT\)là số chẵn còn VP là số lẻ (loại).

Xét trong 3 số x, y, z có 2 số chẵn 1 số lẻ. Không mát tính tổng quát giả sử số lẻ là x.

​​\(\left(x-y\right)^3\)lẻ; ​​\(3\left(y-z\right)^2\)chẵn; \(5|x-z|\)lẻ

\(\Rightarrow\)VT là số chẵn còn VP là số lẻ (loại).

Xét trong 3 số x, y, z có 2 số lẻ 1 số chẵn. Không mát tính tổng quát giả sử số chẵn là x.

\(\left(x-y\right)^3\)lẻ; \(3\left(y-z\right)^2\)chẵn; \(5|x-z|\)lẻ

\(\Rightarrow\)​​VT là số chẵn còn VP là số lẻ (loại).

Vậy PT vô nghiệm.

Ta xét tính chẵn lẻ của x,y,z rồi chứng minh tổng trên luôn chẵn là được

내년 SKT T1이 다시 돌아와 삼성 갤럭시를 이길 것입니다

- Nếu \(x,y,z\)đôi một không cùng số dư khi chia hết cho \(3\), khi đó giả sử \(x\equiv0\left(mod3\right),y\equiv1\left(mod3\right),z\equiv2\left(mod3\right)\).

Ta có: \(VP\equiv0+1+2\equiv0\left(mod3\right)\)

\(VT\)không có thừa số nào chia hết cho \(3\)nên \(VT⋮̸3\)do đó mâu thuẫn. 

- Nếu có hai trong ba số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).

Khi đó \(VT\)chia hết cho \(3\).

\(VP\)không chia hết cho \(3\)(mâu thuẫn).

Do đó cả \(3\)số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).

Vậy \(x+y+z=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮\left(3.3.3\right)\)

hay ta có đpcm. 

Một số nguyên chia cho 3 có số dư là 0,1 hoặc 2

- Nếu x,y,z chia cho 3 có số dư khác nhau 

\(\Rightarrow x-y⋮̸3;y-z⋮̸3;z-x⋮̸3\)còn \(x+y+z⋮3\)

Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)không xảy ra

- Nếu x,y,z chỉ có hai số chia cho 3 có cùng số dư

Không mất tính tổng quát,giả sử là x và y ta có :

\(x-y⋮3,x+y+z⋮̸3\)

Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)cũng không xảy ra

Do đó x,y,z chia cho 3 có cùng số dư 

\(\Rightarrow x-y⋮3;y-z⋮3;z-x⋮3\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(z=min\left(x;y;z\right)\)

Từ giả thiết x+y+z=3 => \(3z\le x+y+z\)Do đó \(0\le z\le1\)

Đặt x=1+a; y=1+b; c=1-a-b. Do 0 =<c=<1 nên 0 =< a+b =< 1

Ta có \(\left(x-1\right)^3+\left(y-1\right)^3+\left(z-1\right)^3=a^3+b^3+\left(-a-b\right)^3=-3ab\left(a+b\right)\)

Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\left(0\le a+b\le1\right)\)

\(\Rightarrow-3ab\left(a+b\right)\ge\frac{-3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Khi đó \(x=y=\frac{3}{2};z=0\)

Gọi ước chung lớn nhất của x - z và y - z là d ( d \(\in\)\(ℕ^∗\))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right).\left(y-z\right)⋮d^2\)

\(\Rightarrow z^2⋮d^2\Rightarrow z⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x⋮d\\y⋮d\end{cases}}\)

Mà x, y nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-z,y-z\right)=1\)

Mà (x-z)(y-z)=z^2 chính phương

x,y,z thuộc N*

\(\Rightarrow x-z\)và \(y-z\)đều là số chính phương

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z=m^2\\y-z=n^2\end{cases}}\)

với m,n thuộc Z

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2=m^2n^2\)

\(\Rightarrow z=mn\)

Ta có: (x-z)+(y-z)=(x+y)-2z

\(\Rightarrow\left(x+y\right)=m^2+n^2+2mn\)

\(\Rightarrow x+y=\left(m+n\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2\)

\(\Rightarrow xy-zy-zx+z^2=z^2\Rightarrow xy-zy-zx=0\)\(\Rightarrow xy-z\left(x+y\right)=0\Rightarrow xy=z\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)=z^2\left(m+n\right)^2\)là số chính phương với z thuộc N*, m,n thuộc Z (đpcm)

Vậy xyz là số chính phương.

xyz là số chính phương

Sao ko thay cau tra loi cua may ban trc vay

Gọi ước chung lớn nhất của x - z và y - z là d ( d \(\in\)\(ℕ^∗\))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right).\left(y-z\right)⋮d^2\)

\(\Rightarrow z^2⋮d^2\Rightarrow z⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x⋮d\\y⋮d\end{cases}}\)

Mà x, y nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-z,y-z\right)=1\)

Mà (x-z)(y-z)=z^2 chính phương

x,y,z thuộc N*

\(\Rightarrow x-z\)và \(y-z\)đều là số chính phương

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z=m^2\\y-z=n^2\end{cases}}\)

với m,n thuộc Z

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2=m^2n^2\)

\(\Rightarrow z=mn\)

Ta có: (x-z)+(y-z)=(x+y)-2z

\(\Rightarrow\left(x+y\right)=m^2+n^2+2mn\)

\(\Rightarrow x+y=\left(m+n\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2\)

\(\Rightarrow xy-zy-zx+z^2=z^2\Rightarrow xy-zy-zx=0\)\(\Rightarrow xy-z\left(x+y\right)=0\Rightarrow xy=z\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)=z^2\left(m+n\right)^2\)là số chính phương với z thuộc N*, m,n thuộc Z (đpcm)

Vậy xyz là số chính phương.

xyz là số chinh phương