Bđt tương đương:

\(\frac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\frac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\frac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\frac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)(luôn đúng do \(x,y\ne0\))

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=a^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2\)

Dễ dàng chứng minh được: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)nên \(a^2\ge4\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\left(1\right)\)

Ta thấy: bđt tương đương với \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le1\end{cases}}\left(2\right)\)

Từ (1) suy ra (2) . Vậy bài toán được chứng minh

vid x,y là số thực nên ko dùng đc bđt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4+4x^2y^2}{x^2y^2}\ge\frac{3x^3y+3y^3x}{x^2y^2}\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+4x^2y^2-3x^3y-3xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2\left(x^2-2xy+y^2\right)-x^3y-xy^3+2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)-xy\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)

\(\Rightarrowđpcm."="\Leftrightarrow x=y\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) <=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 - 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)

Vì \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2\)

và \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge 2\)

nên BĐT tương đương 2+ 4- 3x2 \(\ge 0\)

<=> 0\(\ge 0\)

Dấu = xảy ra khi x=y

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\) ta có \(lal=l\frac{x}{y}+\frac{y}{x}l=l\frac{x}{y}l+l\frac{y}{x}l\ge2\) ( cô - si )

=> \(a\ge2ora\le-2\)

 BĐT <=> \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\ge2\) => \(a-1>a-2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\le-2\Rightarrow a-2\le0;a-1\le0\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\)

Vậy BĐT trên luôn đúng 

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) \Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)(1)

Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\), (1) trở thành \(t^2-3t+2\ge0\)(2)

(2) đúng khi \(t\le1\)hoặc \(t\ge2\), chú ý rằng theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:

\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)với x,y > 0 

Do đó (2) đúng, suy ra (1) đúng ( đpcm ).

Đề đúng không thế bạn. 3 hay là 2 thế

https://diendantoanhoc.net/topic/140802-cmrfrac4x2y2x2y22fracx2y2fracy2x2geq-3/

\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\ge0\) (Luôn đúng vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x;y>0\))