tam giác AHB đồng dạng với tam giác HCI ( g.g ) ( Bạn tự chứng minh )

\(\Rightarrow\frac{AH}{HI}=\frac{BH}{CI}\Rightarrow\frac{AH}{OH}=\frac{BC}{CI}\)

Suy ra tam giác BIC đồng dạng với tam giác AOH ( đpcm )

b) Qua H kẻ HE // BI 

Ta cũng dễ chứng minh được OE // BC suy ra \(OE\perp AH\)

Suy ra tam giác AHE có trực tâm là O 

Suy ra AO vuông góc với BI ( đpcm )

Làm ngắn thế Hiếu!

Bạn tự vẽ hình!!!

a) Hai tam giác vuông AHC và HIC có chung góc C nên chúng đồng dạng 

\(\Delta AHC\approx\Delta HIC\Rightarrow\frac{HA}{HI}=\frac{HC}{IC}\)

\(\frac{HA}{2HO}=\frac{BC}{2IC}\Rightarrow\frac{HA}{HO}=\frac{BC}{IC}\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\widehat{AHO}=\widehat{ICB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta BIC\approx\Delta AOH\left(c-g-c\right)\)

b) Gọi D là giao điểm của AH và BI , E là giao điểm của AO và BI 

\(\Delta BIC\approx\Delta AOH\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{IBH}=\widehat{HAO}\)

Ta lại có: góc BDH = góc ADE (dđ) => IBH + BDH = HAO + ADE

Tam giác BHD vuông nên IBH + BDH=90 độ => HAO + ADE =90 độ => góc AED = 90 độ hay \(AO\perp BI\)

a, tam giác AIH và tam giác HIC đều vuông tại I 

tam giác ABC cân tại A ; H là trung điểm của BC (gt)

=> AH _|_ BC (đl) và AH là phân giác của góc BAC

=> góc  BAH + góc ABC = 90 mà góc ABH = góc HAC

=> góc HAC + góc ABC = 90

tam giác ABC cân tại A => góc B = Góc C

có góc IHC + góc ACB = 90 

=> gócIHC + góc ABC = 90

=> góc HAC = góc IHC 

tam giác AIH và tam giác HIC đều vuông tại I 

=>t am giác AIH ~ tam giác HIC

=> HA/HC = HI/IC

=> HA.IC = HC.HI

a, BHCK có I là trung điểm hai đường chéo

b, Ta có ∆ABK, ∆ACK vuông tại B và C nên A,B,K,C nằm trên đường tròn đường kính AK

c, Ta có OI là đường trung bình của ∆AHK => OI//AH

d, Gọi AH cắt BC tại M. Ta có BE.BA = BM.BC và CA.CD = CM.BC => ĐPCM

a: Xét tứ giác BHCK có

I là trung điểm chung của BC và HK

=>BHCK là hình bình hành

b: BHCK là hbh

=>BH//CK và BK//CH

=>BK vuông góc AB và CK vuông góc CA

góc ABK=góc ACK=90 độ

=>ABKC nội tiếp đường tròn đường kính AK

=>O là trung điểm của AK

c: Xét ΔKAH có

KO/KA=KI/KH=1/2

nên OI//AH

d: gọi giao của AH với BC là F

=>AH vuông góc BC tại F

Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBFA vuông tại F có

góc B chung

=>ΔBEC đồng dạng với ΔBFA

=>BE/BF=BC/BA

=>BE*BA=BF*BC

Xét ΔCDB vuông tại D và ΔCFA vuông tại F có

góc C chung

=>ΔCDB đồng dạng với ΔCFA

=>CD/CF=CB/CA
=>CD*CA=CF*CB

=>BE*BA+CD*CA=BC^2

a:

Gọi O là trung điểm của CI

Xét tứ giác CKIH có

\(\widehat{CKI}+\widehat{CHI}=90^0+90^0=180^0\)

=>CKIH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CI

=>C,K,H,I cùng thuộc (O)

b: Xét (O) có

OI là bán kính

AB\(\perp\)OI tại I

Do đó; AB là tiếp tuyến của (O)

c: Ta có: ΔOKI cân tại O

mà OE là đường cao

nên OE là phân giác của góc KOI

Xét ΔOKE và ΔOIE có

OK=OI

\(\widehat{KOE}=\widehat{IOE}\)

OE chung

Do đó: ΔOKE=ΔOIE

=>\(\widehat{OKE}=\widehat{OIE}\)

=>\(\widehat{OKE}=90^0\)

=>EK là tiếp tuyến của (O)