Cho các số thực dương x, y ≠ 1 và thoả mãn logxy=logyx, logx(x-y)=logy(x+y). Giá trị của x2+xy+y2bằng:
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log(x+2y) = logx + logy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu P = e x 2 1 + 2 y 4 . e y 2 1 + 2 x
cho các số thực dương x và y thoả mãn 1 + x +y = (căn x) + (căn xy) + (căn y) . tính giá trị của biểu thức S = x^2013 + y^2013 ...
ai nhanh đúng mk tick cho
\(1+x+y=\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow2\left(1+x+y\right)=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2x+2y=2\sqrt{x}+2\sqrt{xy}+2\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow2x+2y+2-2\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{y}\\\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
\(\Rightarrow S=x^{2013}+y^{2013}=1+1=2\)
Cho các số thực dương x,y thoả mãn: (x+y-1)^2= xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1/xy + 1/x^2+y^2 + căn(xy)/x+y
Cho x , y > 0 thỏa mãn log x + 2 y = log x + log y . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 1 + 2 y + 4 y 2 1 + x là:
A. 6
B. 32 5
C. 31 5
D. 29 5
Đáp án B
Ta có:
log x + 2 y = log x + log y ⇔ log 2 x + 2 y = log 2 x y ⇔ 2 x + 2 y = 2 x y * .
Đặt a = x > 0 b = 2 y > 0 , khi đó * ⇔ 2 a + b = a b và P = a 2 1 + b + b 2 1 + a ≥ a + b 2 a + b + 2 .
Lại có a b ≤ a + b 2 4 ⇒ 2 a + b ≤ a + b 2 4 ⇔ a + b ≥ 8.
Đặt t = a + b , do đó P ≥ f t = t 2 t + 2
Xét hàm số f t = t 2 t + 2 trên 8 ; + ∞ , có f ' t = t 2 + 2 t t + 2 2 > 0 ; ∀ t ≥ 8
Suy ra f t là hàm số đồng biến trên 8 ; + ∞ → min 8 ; + ∞ f t = f 8 = 32 5 .
Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là 32 5 .
Cho các số thực x, y thoả mãn 2 x + y - 1 ( 3 x + y + 1 ) = 3 x + 3 y + 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + x y + y 2 bằng
A. 3 4
B. 0
C. 1 4
D. 1 2
Cho các số thực x, y thoả mãn 2 x + y - 1 ( 3 x + y + 1 ) = 3 x + 3 y + 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x 2 + x y + y 2 bằng
A. 3 4
B. 0.
C. 1 4
D. 1 2
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log x + y x 2 + y 2 ≤ 1 .Giá trị lớn nhất của biểu thức A= 48 ( x + y ) 3 - 156 ( x + y ) 2 + 133 ( x + y ) + 4 là
A. 29.
B. 1369/36.
C. 30.
D. 505/36
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn y = 10 1 1 − log x , z = 10 1 1 − log y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. x = 10 − 1 1 − log z
B. x = 10 1 1 − ln z
C. x = 10 1 1 + log z
D. x = 10 1 1 − log z
Đáp án D
Ta có
y = 10 1 1 − log x z = 10 1 1 − log y ⇔ log y = 1 1 − log x log z = 1 1 − log y ⇔ log y = 1 1 − log z log y = 1 1 − log x ⇒ 1 − 1 1 − log z = 1 1 − log x ⇔ log z − 1 log z = 1 1 − log x ⇔ 1 − log x = log z log z − 1 ⇔ log x = − 1 log z − 1 ⇔ x = 10 1 1 − log z
Cho x, y là các số thực thỏa mãn 1 < x < y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log x y − 1 2 + 8 log y x y x 2 .
A. 30
B. 18
C. 9
D. 27
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y ≥ log ( x 3 + 2 y ) Giá trị nhỏ nhất của P = 25x + y là
A. 375/4
B. 45/2
C. 195/2
D. 14 26