Question

Cho x ,    y > 0  thỏa mãn log x + 2 y = log x + log y .  Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 1 + 2 y + 4 y 2 1 + x  là:

A. 6

B.  32 5

C.  31 5

D.  29 5

Answer 1

Đáp án B

Ta có:

log x + 2 y = log x + log y ⇔ log 2 x + 2 y = log 2 x y ⇔ 2 x + 2 y = 2 x y      * .

Đặt a = x > 0 b = 2 y > 0 , khi đó * ⇔ 2 a + b = a b và  P = a 2 1 + b + b 2 1 + a ≥ a + b 2 a + b + 2 .

Lại có a b ≤ a + b 2 4 ⇒ 2 a + b ≤ a + b 2 4 ⇔ a + b ≥ 8.

Đặt t = a + b , do đó  P ≥ f t = t 2 t + 2

Xét hàm số f t = t 2 t + 2 trên 8 ; + ∞ , có  f ' t = t 2 + 2 t t + 2 2 > 0 ; ∀ t ≥ 8

Suy ra f t là hàm số đồng biến trên  8 ; + ∞ → min 8 ; + ∞ f t = f 8 = 32 5 .

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là  32 5 .