Ta có \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+x^3=\sqrt{y+2}+y^3\)

 Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt{x+2}+x^3\). Ta chứng minh \(f\left(x\right)\) là hàm số đồng biến với \(x\ge-2\)

Giả sử \(f\left(a\right)>f\left(b\right)\) với \(a,b\ge-2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+2}+a^3>\sqrt{b+2}+b^3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a+2}-\sqrt{b+2}+a^3-b^3>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}+a^2-ab+b^2\right)>0\)     (*)

 Dễ thấy \(\dfrac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}+a^2+ab+b^2>0\) với mọi \(a,b\ge-2\)

 Do đó từ (*) suy ra \(a>b\).

 Vậy ta có \(f\left(a\right)>f\left(b\right)\Rightarrow a>b\). Do đó \(f\) là hàm số đồng biến.

 Theo trên, ta có \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\Rightarrow x=y\)

 Thay vào biểu thức B, ta có \(B=x^2+2x+10\)

\(B=\left(x+1\right)^2+9\) \(\ge9\).

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-1\) (nhận) \(\Rightarrow y=-1\)

 Vậy GTNN của B là 9, xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\)

\(D=\left(4-5x\right)^{2k}-3^2=\left(4-5x\right)^{2k}-9\)

Vì \(\left(4-5x\right)^{2k}\ge0\Rightarrow D=\left(4-5x\right)^{2k}-9\ge9\)

=>D_min=(4-5x)^2k-9=9

=>(4-5x)^2k=0

=>4-5x=0

=>5x=4

=>x\(=\frac{4}{5}\)

Vậy D_min khi x=\(\frac{4}{5}\)

do (4-5x)^2k\(\ge\)0 với mọi x

=>D=(4-5x)^2k-3²\(\ge\)-9 với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi:(4-5x)^2k-3²=9

=>(4-5x)^2k=0

=>4-5x=0

=>5x=4

=>x=\(\frac{4}{5}\)

vậy D min = -9 tại x=\(\frac{4}{5}\)=0,8

Ta có : \(P=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\)

Xét : \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}.\left(x-y\right)^2+\dfrac{5}{4}.\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}.\left(x+y\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.\left(x+y\right)\)

\(CMTT:\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}.\left(y+z\right)\)

                \(\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}.\left(x+z\right)\)

Do đó : \(P\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}.\left(x+y+y+z+z+x\right)=\dfrac{2\sqrt{5}.\left(x+y+z\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}.\left(x+y+z\right)\)

Ta có : BĐT : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

Mà : \(xy+yz+zx=3\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge9\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

\(\Rightarrow P_{min}=3\sqrt{5}\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(a,\) Đặt \(A=\dfrac{3x^2-2x+3}{x^2+1}\Leftrightarrow Ax^2+A=3x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(A-3\right)-2x+A-3=0\)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn x, PT có nghiệm 

\(\Leftrightarrow\Delta=4-4\left(A-3\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(A-3\right)^2\le1\Leftrightarrow2\le A\le4\)

Vậy \(A_{min}=4\Leftrightarrow\dfrac{3x^2-2x+3}{x^2+1}=4\Leftrightarrow x=...\)

\(b,\) Đặt \(B=\dfrac{3x^2-4x+4}{x^2+2}\Leftrightarrow Bx^2+2B=3x^2-4x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(B-3\right)+4x+2B-4=0\)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn x, PT có nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta=16-8\left(B-2\right)\left(B-3\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(B-2\right)\left(B-3\right)\le2\\ \Leftrightarrow B^2-5B+4\le0\\ \Leftrightarrow\left(B-1\right)\left(B-4\right)\le0\\ \Leftrightarrow1\le B\le4\)

Vậy\(B_{min}=4\Leftrightarrow\dfrac{3x^2-4x+4}{x^2+2}=4\Leftrightarrow x=...\)

https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/

bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo

Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(x^2y^2+1\ge2xy,\) \(y^2z^2+1\ge2yz,\) \(z^2x^2+1\ge2zx\)

Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với \(x^2+y^2+z^2\), ta được:

\(\left(x+y+z\right)^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3=9\)

Từ đó suy ra: \(Q\le3\)

Mặt khác, dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)  nên ta có kết luận \(Max_Q=3\)

Ta sẽ chứng minh \(Q\ge\sqrt{6}\) với dấu đẳng thức xảy ra, chẳng hạn \(x=\sqrt{6},\) \(y=z=0.\) Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(2xy+x^2y^2\le x^2+y^2+x^2y^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Từ đó suy ra: \(xy\le\sqrt{7}-1< 2\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: 

\(yz< 2,\) \(zx< 2.\)

Do đó, ta có: 

\(Q^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Hay: \(Q\ge\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow Min_Q=\sqrt{6}\)

Cần cm : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a+b\right|\right)^2\Leftrightarrow a^2+2\left|ab\right|+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) (luôn đúng; dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow ab\ge0\))

Áp dụng ta có :

\(A=\left|x+3\right|+5\left|6x+1\right|+\left|x-1\right|+3=\left(\left|x+3\right|+\left|1-x\right|\right)+5\left|6x+1\right|+3\)

\(\ge\left|x+3+1-x\right|+5\left|6x+1\right|+3=5\left|6x+1\right|+7\ge7\) có GTNN là 7

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+3\right)\left(1-x\right)\ge0\\\left|6x+1\right|=0\end{cases}\Rightarrow x=-\frac{1}{6}\left(TM\right)}\)

vẬY \(D_{min}=7\) khi \(x=-\frac{1}{6}\)

Giá Trị nhỏ nhất của A = 5 

Tick nha NGUYỄN PHƯƠNG LINH .  Thank 

-11 khi x = \(\frac{-3}{10}\)

y = \(\dfrac{sin^2x}{cosx\left(sinx-cosx\right)}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{sin^2x}{sinx.cosx-cos^2x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\dfrac{sin^2x}{cos^2x}}{\dfrac{sinx.cosx}{cos^2x}-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{tan^2x}{tanx-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{4tan^2x+tanx-1}{4tanx-4}\). Đặt t =  tanx. Do x ∈ \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên t ∈ (1 ; +\(\infty\))\

Ta đươc hàm số f(t) = \(\dfrac{4t^2+t-1}{4t-4}\)

⇒ ymin = \(\dfrac{17}{4}\) khi t = 2. hay x = arctan(2) + kπ 

a) Do \(\left|1+2x\right|\ge0\Rightarrow\dfrac{-1}{4}\left|1+2x\right|\le0\)

\(\Rightarrow A=2,25-\dfrac{1}{4}\left|1+2x\right|\le2,25\)

\(maxA=2,25\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

b) Do \(\left|2x-3\right|\ge0\Rightarrow3+\dfrac{1}{2}\left|2x-3\right|\ge3\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{2}\left|2x-3\right|}\le\dfrac{1}{3}\)

\(maxB=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

mình ghi nhầm đề bài là Tìm giá trị lớn nhất nhé