Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Một tiếp tuyến
của đường tròn (O) tại điểm B cắt (O’) tại C và D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt
(O) tại E và F.
a. Kẻ tiếp tuyến chung xAx' của hai đường tròn. Chứng minh rằng EF//CD .
b. Gọi M là điểm chính giữa của cung CD (M và A khác phía đối với CD). Chứng
minh rằng BAM=90 độ .

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Kẻ cát tuyến ADE với đường tròn (O) (D nằm giữa A và E). a) Chứng minh: bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: OA BC tại H và OD2 = OH.OA. Từ đó suy ra tam giác OHD đồng dạng với tam giác ODA. c) Chứng minh BC trùng với tia phân giác của góc DHE. d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: D là trung điểm của MN

Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Qua A, kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm di động luôn nằm giữa A và C. Qua M, kẻ tiếp tuyến thứ hai tiếp xúc đường tròn (O) tại I (I khác C). Tia MI cắt đoạn thẳng AB tại N.

a) Khi M di động, chứng tỏ tam giác AMN có chu vi không đổi.

b) Qua O, kẻ đường thẳng vuông góc với OA; đường thẳng vừa kẻ lần lượt cắt các tia AC, AB tại P và Q. Chứng minh OP = OQ.

c) Chứng minh tam giác POM đồng dạng với tam giác QNO.

d) chứng minh tổng PM + QN lớn hơn hoặc bằng PQ.

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$. Qua $A$ vẽ một cát tuyến cắt đường tròn $(O)$ tại $B$ và cắt đường tròn $(O')$ tại $C$. Từ $B$ vẽ tiếp tuyến $xy$ với đường tròn $(O)$. Từ $C$ vẽ đường thẳng \(uv\) song song với đường thẳng \(xy\). Chứng minh rằng \(uv\) là tiếp tuyến của đường tròn $(O')$.