Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Hãy tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Cho ba số dương a, b, c có tổng bằng 1. Hãy tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxky cho 3 số ko âm, ta có:
P>= ( a+b+c)^2/ 2( a+b+c)=1^2/2*1=1/2
vậy min P= 1/2 tại a=b=c=1/3
hok tốt
@♡♡♡Cố Tử Thần♡♡♡ phải là áp dụng Bunhia dạng phân thức mới chính xác
Áp dụng bdtd Cauchy-Schwarz dạng phân thức :
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho ba số dương a, b, c có tổng bằng 1. Hãy tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTLN của biểu thức
P=\(\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}\)
Cho ba số a,b,c là các số thực dương tìm GTLN của biểu thức \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+c\right)^2}{2b^2+c^2+a^2}\)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 . Tìm GTLN của biểu thức : \(P=a^2+b^2+c^2-\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-\frac{3}{c}\)
Ta có đánh giá sau: \(a^2-\frac{3}{a}\le5a-7\) \(\forall a\in\left(0;3\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(a^3-5a^2+7a-3\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-3\right)\le0\) (luôn đúng \(\forall a\in\left(0;3\right)\)
Tương tự ta có: \(b^2-\frac{3}{b}\le5b-7\); \(c^3-\frac{3}{c}\le5c-7\)
Cộng vế với vế:
\(P\le5\left(a+b+c\right)-21=-6\)
\(\Rightarrow P_{max}=-6\) khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a+b+c =3. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\)
\(P=\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}{\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}\le\frac{\text{∑}\left(1+a+ac\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+3+\frac{3^2}{3}}{3^2}=1\)
"=" khi a=b=c=1
(Vĩnh Phúc)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương thay đổi có tổng luôn bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức \(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\).
cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn:ab+ac+bc=1. Tìm GTLN của biểu thức:
\(B=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(B=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(B=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(B\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a}}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow B_{max}=\frac{3}{2}\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:}a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2\)
Bài toán quy về 2 bài toán nhỏ hơn!
Cho các số dương ab + bc +ca = 1.
a) Tìm Max: \(M=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
(Lời giải tại: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi. Bài làm của anh Thắng, trong lời giải có phần giống với đề bên trên.)
b) Tìm Min: \(N=a^2+28b^2+28c^2\)
Có: \(N=\frac{1}{4}\left(2a-7b-7c\right)^2+\frac{63}{4}\left(b-c\right)^2+7\left(ab+bc+ca\right)\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)
Từ đó tìm được \(P\le\frac{9}{4}-7=-\frac{19}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)
Với ab + bc + ca = 1 và áp dụng BĐT AM - GM, ta được:
\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)\(\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}.\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}}{2}+\frac{\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}}{2}+\frac{\frac{2c}{a+c}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}\)
\(=\frac{\frac{2\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{b+c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{2+2+\frac{1}{2}}{2}=\frac{9}{4}\)(*)
Mặt khác, cũng theo AM - GM, ta có:
\(\frac{a^2}{2}+\frac{49b^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49b^2}{2}}=7ab\)(1)
\(\frac{a^2}{2}+\frac{49c^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49c^2}{2}}=7ac\)(2)
\(\frac{7}{2}\left(b^2+c^2\right)\ge\frac{7}{2}.2\sqrt{b^2c^2}=7bc\)(3)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{2a^2+56b^2+56c^2}{2}\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)
hay \(a^2+28b^2+28c^2\ge7\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2\)
\(\le\frac{9}{4}-7=\frac{-19}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)
Ta thay giả thiết vào biểu thức bài toán:
\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Do đó: \(P=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{2b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{2c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{2b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{2c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{\sqrt{2y\left(x+y\right)}}\cdot\sqrt{\frac{x+y}{a+b}\cdot\frac{2y}{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{2y\left(x+y\right)}}\sqrt{\frac{x+y}{a+c}\cdot\frac{2y}{c+b}}\)
\(\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+y}{2y}}\cdot\frac{b}{a+b}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2y}{x+y}}\cdot\frac{b}{b+c}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+y}{2y}}\cdot\frac{c}{a+c}\)\(+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2y}{x+y}}\cdot\frac{c}{c+b}\)
Do đó ta cần chọn x,y sao cho \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+y}{2y}}=1\\y^2+2xy=1\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{7}{\sqrt{15}};y=\frac{1}{\sqrt{15}}}\)