Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Hãy tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
1. Với các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2+2abc=1, tìm GTLN của biểu thức P=ab+bc+ca-abc.
2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện (a+c)(b+c)=4c2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P=\(\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)
Bài 1:Tìm GTNN, GTLN của biểu thức A=\(\frac{x+1}{x^2+x+1}\)
Bai 2 :Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a+b+c=1
CMR \(\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}\ge2\)
Cho \(a,b,c\) là các số dương. Tìm GTLN của biểu thức: \(S=\frac{a}{a^2+2b+2c+1}+\frac{b}{b^2+2c+2a+1}+\frac{c}{c^2+2a+2b+1}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.tìm GTLN của biểu thức P=\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\)
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa ab+bc+ca=3abc. Tìm GTNN của biểu thức A=\(\frac{a^3}{c+a^2}+\frac{b^3}{a+b^2}+\frac{c^3}{b+c^2}\)
Cho a,b,c là ba số dương bất kỳ thoã a2 +b2 +c2 =1.Tìm GTNN của biểu thức
\(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \(a+\frac{1}{b}\le1\). Tìm GTLN của biểu thức T=\(\frac{ab}{a^2+b^2}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện (a+c)(b+c)=4c2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P=
\(\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)
