Tham khảo

S =1² + 2² + 3² +......+ 99² + 100²

   = 1 + 2.(1 + 1) + 3.(1 + 2) + ... + 99.(1 + 98) + 100.(99 + 1)

   = 1 + 2.1 + 2 + 3.1 + 3.2 +... + 99.1 + 99.98 + 100.99 + 100.1

    = (2.1 + 2.3 + ... + 99.99 ) + (1 + 2 + 3 + ... + 99  + 100)

   = 333300 + 5050

   = 338350

\(S=1^2+2^2+3^2+...+99^2+100^2\)

\(=1.1+2.2+3.3+...+100.100\)

\(=1\left(2-1\right)+2\left(3-1\right)+3\left(4-1\right)+...+100\left(101-1\right)\)

\(=\left[1.2-1+2.3-1.1+3.4-3+1+...+100.101-100.1\right]\)

\(=\left[1.2+2.3+3.4+...+100.101\right]-\left(1+2+3+...+100\right)\)

\(=\dfrac{100.101.102}{3}-\dfrac{100.101}{2}\)

\(\dfrac{100.101.\left(2.100+1\right)}{6}=338350\)

Ta có: \(S=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)

\(=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}-\dfrac{1}{10}\)

\(=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}\)

A=1.2+2.3+3.4+.......+99.100
Nhân cả 2 vế với 3, ta được:
3A=1.2.3+ 2.3.3+ 3.4.3+ 4.5.3+...... 99.100.3
= 1.2.3 + 2.3(4-1) + 3.4.(5-2) +...+ 99.100.(101-98)
= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5-2.3.4 +...+ 99.100.101-98.99.100= 99.100.101
=> A = (99.100.101)/3
A = 333300

mk bó tay sorry

456547

Bạn nhìn thì cũng không quá khó để nhận ra quy luật trong S

\(\frac{1}{1},\)\(\frac{1+2}{2},\)\(\frac{1+2+3}{3},\)\(\frac{1+2+3+4}{4},\)..., \(\frac{1+2+...+100}{100},\)

Công thức tính tổng \(1+2+3+..+n\)(với \(n\)là số nguyên dương) là \(\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}\)

Vì vậy mỗi số hạng trong \(S\)có thể rút gọn thành \(\frac{1+2+3+...+n}{n}=\frac{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2}\)

Do đó

 \(S=\frac{\left(1+1\right)}{2}+\frac{\left(2+1\right)}{2}+\frac{\left(3+1\right)}{2}+..+\frac{\left(100+1\right)}{2}=\frac{1}{2}\left(2+3+4+..+101\right)\)

\(S=\frac{1}{2}\left(\frac{101\cdot102}{2}-1\right)=2575\)

Chúc bạn học tốt!
(P/S : giải thích dòng cuối : Tổng từ 2 tới 101? Lấy tổng từ 1 tới 101 rồi trừ đi 1 nếu không nhớ cách làm của Gauss nha, không thì cứ nhớ câu này "Dĩ đầu cộng vĩ, chiết bán nhân chi" (lấy đầu cộng cuối, chia 2, nhân số số hạng))