Với n chẵn ta thấy tử số phân số trên chẵn

Mà mẫu số lẻ

Nên hiển nhiên phân số trên tối giản

Với n lẻ, làm tương tự
 

thế VD là phân số \(\frac{6}{9}\)thì cx tối giản à bn ? 

Gọi d là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+2\\5n+3\end{cases}⋮d}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+2\right)\\3\left(5n+3\right)\end{cases}⋮d\rightarrow\hept{\begin{cases}15n+10\\15n+9\end{cases}⋮}d}\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

=>\(1⋮d\Rightarrow d=1\)

=>p/s trên tối giản với mọi số tự nhiên n

Vậy....

Có gì chưa rõ mong mn chỉ bào thêm ạ

Gọi ƯCLN(3n + 2, 5n + 3) = d (d thuộc N*)

Ta có:

3n + 2 chia hết cho d

5n + 3 chia hết cho d

<=> 3(3n + 2) chia hết cho d = 9n + 6 chia hết cho d

<=> 2(5n +3) chia hết cho d = 10n + 6 chia hết cho d

=> 10n + 6 - 9n + 6 chia hết cho d = 1 chia hết cho d

=> d = 1

<=> 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

=> Phân số \(\frac{3n+2}{5n+3}\)  là phân số tối giản.

gọi d là ưcln của 3n+2 và 5n+3, ta có

﴾3n+2﴿‐﴾5n+3﴿ chia hết cho d

5﴾3n+2﴿‐3﴾5n+3﴿ chia hết cho d 

15n+10‐15n‐9 chia hết cho d

15n‐15n+10‐9 chia hết cho d

1 chia hết cho d => d=1

vậy 3n+2/5n+3 là 2 phân số tối giản

Gọi ƯCLN(3n + 2, 5n + 3) = d (d thuộc N*)

Ta có:

3n + 2 chia hết cho d

5n + 3 chia hết cho d

<=> 3(3n + 2) chia hết cho d = 9n + 6 chia hết cho d

<=> 2(5n +3) chia hết cho d = 10n + 6 chia hết cho d

=> 10n + 6 - 9n + 6 chia hết cho d = 1 chia hết cho d

=> d = 1

<=> 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

=> Phân số \(\frac{3n+2}{5n+3}\) là phân số tối giản.

Cấm đứa nào copy bài tao đã làm, tao làm nhanh nhứt

Gọi ƯCLN(3n + 2, 5n + 3) = d (d thuộc N*)

Ta có:

3n + 2 chia hết cho d

5n + 3 chia hết cho d

<=> 5(3n + 2) chia hết cho d = (15n + 10) chia hết cho d

<=> 3(5n +3) chia hết cho d = (15n + 9) chia hết cho d

=> (15n + 10) - (15n + 9) chia hết cho d = 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy Phân số $\frac{3n+2}{5n+3}$ là phân số tối giản.

tự làm nha thấy đúng cho mik một like

Gọi d là ƯCLN(5n+2;3n+1)

Ta có 5n+2\(⋮\)d;3n+1\(⋮\)d

=>3*(5n+2)\(⋮\)d;5*(3n+1)\(⋮\)d

=>15n+6\(⋮\)d;15n+5\(⋮\)d

=>[(15n+6)-(15n+5)]\(⋮\)d

=>[15n+6-15n-5]\(⋮\)d

=>1\(⋮\)d

=>d=1

Vì ƯCLN(5n+2;3n+1)=1 nên phân số \(\frac{5n+2}{3n+1}\) luôn là phân số tối giản(nEN*)

gọi d=ƯCLN(3n+2;2n+1)

lập luận d = 1

kết luận\(\frac{3n+1}{2n+1}\)tối giản

Gọi \(\left(3n+2;2n+1\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+4⋮d\\6n+3⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

\(\Rightarrow\frac{3n+2}{2n+1}\)là phân số tối giản với mọi STN n

Gọi d là ƯCLN\((3n+2,2n+1)\)  \((d\inℕ^∗)\)

Ta có : \((3n+2)⋮d,(2n+1)⋮d\)

\(\Rightarrow\left[2(3n+2)\right]⋮d,\left[3(2n+1)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left[6n+4\right]⋮d.\left[6n+3\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left[6n+4\right]-\left[6n+3\right]⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

Mà \(d\inℕ^∗\)nên d = 1

Vậy : \(\frac{3n+2}{2n+1}\)là phân số tối giản \(\forall n\inℕ\)

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN (5n+3, 3n+2)$

Khi đó:

$5n+3\vdots d$ và $3n+2\vdots d$

$\Rightarrow 5(3n+2)-3(5n+3)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$
Vậy $(5n+3, 3n+2)=1$

$\Rightarrow \frac{5n+3}{3n+2}$ là phân số tối giản.

gọi UCLN(5n+3; 3n+2)=d khi đó 5n+3 chia hết cho d suy ra 15n+9 chia hết cho d (1)

3n+2 chia hết cho d nên 15n + 10 cũng chia hết cho d (2)   ( dử dụng tính chất a chia hết cho m thì a.n cũng chia hết cho m)

từ 1 và 2 suy ra (15n+10)-(15n+9) chia hết cho d hay 1 chia hết cho d ( tính chất chia hết của 1 tổng- hiệu). vậy d=1

vậy UCLN(5n+3; 3n+2)=1 hay phân số trên tối giản

lưu ý: để chứng minh 1 phân số tối giản ta chứng minh UCLN của tử và mẫu bằng 1. còn trong tập Z ta cm UCLN = +-1

Gọi d là UCLN của \(3n^2+5n+1\left(and\right)8n^2+7n+1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n^2+5n+1⋮d\\8n^2+7n+1⋮d\end{cases}=>8\left(3n^2+5n+1\right)-3\left(8n^2+7n+1\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow24n^2+40n+8-24n^2-21n-3⋮d\)

\(=>19n-5⋮d\)

do 19 zà 5 là số nguyên tố =>không chia hết cho d

=>p.số tối giản