2. \(P=x^2-x\sqrt{3}+1=\left(x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vây \(P_{min}=\frac{1}{4}\)khi \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

3. \(Y=\frac{x}{\left(x+2011\right)^2}\le\frac{x}{4x.2011}=\frac{1}{8044}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=2011\)

Vây \(Y_{max}=\frac{1}{8044}\)khi \(x=2011\)

4. \(Q=\frac{1}{x-\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}}=\frac{1}{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\le\frac{4}{7}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{1}{4}\) 

Vậy \(Q_{max}=\frac{4}{7}\)khi \(x=\frac{1}{4}\)

Làm như thế nào ra \(\frac{x}{4x.2011}\)vậy bạn?

BĐT \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)nhe bạn

0 bạn nhé

Đặt \(P=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\) 

\(P=\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{4}+\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)+\frac{3\sqrt{x^2+4}}{4}\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

(Theo bđt cô-si và \(x^2\ge0\forall x\) ) Dấu "=" xảy ra khi x=0

Bài 3:

Có:\(6=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)

True?

khó quá đây là toán lớp mấy

Bài 2: Thực sự không chắc lắm về cách này

\(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\Rightarrow x^2\left(y-1\right)-5yx+7y=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x, dùng điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 ta có \(\Delta=25y^2-28y\left(y-1\right)=28y-3y^2\ge0\Leftrightarrow28y\ge3y^2\)

Xét y âm, chia 2 vế của bất đẳng thức cho y âm ta được \(y\ge\frac{28}{3}\)không thỏa

Xét y dương ta thu được \(y\le\frac{28}{3}\), cái này thì em không không biết có nghiệm x không nhờ mọi người kiểm tra dùm

Vậy Maxy=28/3 còn Miny=0 (cái min thì dễ hà )

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(y=\sqrt{\frac{x^2}{4}+\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-\sqrt{x^2-4}}\) Điều kiện: \(x\ge2\)

\(\Rightarrow2y=2.\sqrt{\frac{x^2}{4}+\sqrt{x^2-4}}+2.\sqrt{\frac{x^2}{4}-\sqrt{x^2-4}}\)

\(=\sqrt{x^2+4\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{x^2-4\sqrt{x^2-4}}\)

\(=\sqrt{x^2-4+4\sqrt{x^2-4}+4}+\sqrt{x^2-4-4\sqrt{x^2-4}+4}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x^2-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x^2-4}-2\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{x^2-4}+2\right|+\left|\sqrt{x^2-4}-2\right|\)

\(=\sqrt{x^2-4}+2+\left|\sqrt{x^2-4}-2\right|\)(1)

TH1: \(\sqrt{x^2-4}-2\ge0\Rightarrow\sqrt{x^2-4}\ge2\Rightarrow x^2-4\ge4\Rightarrow x\ge2\sqrt{2}\).Ta có:

\(\left(1\right)=\sqrt{x^2-4}+2+\sqrt{x^2-4}-2=2\sqrt{x^2-4}\)

Do \(x\ge2\sqrt{2}\Rightarrow2\sqrt{x^2-4}\ge2\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2-4}=4\)

TH2:  \(\sqrt{x^2-4}-2< 0\Rightarrow\sqrt{x^2-4}< 2\Rightarrow x^2-4< 4\Rightarrow x^2< 8\Rightarrow2\le x< 2\sqrt{2}\).Ta có:

\(\left(1\right)=\sqrt{x^2-4}+2-\sqrt{x^2-4}+2=4\)

Vậy GTNN của y bằng 4.

Dấu "=" xảy ra khi \(2\le x\le2\sqrt{2}\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{4\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x}\right):\)\(\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{4\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)\(:\left(\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}:\frac{x-4-x+4\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{4\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{4}\)

\(b,\)Để \(P>0\Rightarrow\frac{\sqrt{x}-3}{4}>0\)

Mà \(4>0\Rightarrow\sqrt{x}-3>0\Rightarrow\sqrt{x}>3\Rightarrow x>9\)

\(c,\sqrt{P}_{min}=0\Rightarrow\frac{\sqrt{x}-3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3=0\Rightarrow\sqrt{x}=3\Rightarrow x=9\)

thank

\(\text{Tử }=\left(x^2-8x+16\right)+\left(x-2-2\sqrt{x-2}.\sqrt{2}+2\right)+2022\)

\(=\left(x-4\right)^2+\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right)^2+2022\ge2022\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-4=0\text{ và }\sqrt{x-2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=4\).

\(\text{Mẫu }=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b.

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\right)^2\le2\left(x-3+5-x\right)=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\le2\)

Dấu "=" xả ra khi \(\sqrt{x-3}=\sqrt{5-x}\Leftrightarrow x=4\)

\(\Rightarrow Q\ge\frac{2022}{2}=1011\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4.

Vậy GTNN của Q là 1011 khi x = 4.